次の文章中の$[ア]$から$[ヨ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めよ．

(1)実数$a$に対し，$2$つの$2$次関数

$f(x)=x^2-2a^2x-a^4-2a^2-8$
$g(x)=-x^2+2(a^2-4)x-3a^4-2a^3-16$

を考える．

(i) すべての実数$x$に対して$g(x)<f(x)$が成り立つための必要十分条件は
\[ a>-[ア] \quad \text{かつ} \quad a \neq [イ] \]
である．
(ii) $g(x)$の最大値は$-[ウ]a^4-[エ]a^3-[オ]a^2$である．
(iii) 次の条件$(*)$を満たす実数$b$がただ$1$つ存在するとする．

$(*)$ \quad 「すべての実数$x$に対して \ $g(x) \leqq b \leqq f(x)$ \ が成り立つ．」

このとき，
\[ a=-[カ] \quad \text{または} \quad a=[キ] \]
であり，$a=-[カ]$のときは$b=-[ク][ケ]$，$a=[キ]$のときは$b=-[コ][サ]$である．

(2)次の条件で定められる数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad b_1=-2,\quad \left\{ \begin{array}{lcl}
a_{n+1} &=& 8a_n+b_n \\
b_{n+1} &=& -25a_n-2b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき
\[ [シ]a_{n+1}+b_{n+1}=[ス]([シ]a_n+b_n) \]
であるので，
\[ b_n={[セ]}^n-[ソ]a_n \]
である．これにより
\[ \frac{a_{n+1}}{{[タ]}^n}=\frac{a_n}{{[タ]}^{n-1}}+1 \]
となる．したがって
\[ a_n=n \cdot {[チ]}^{n-\mkakko{ツ}} \]
となる．
(3)平面上に，$\triangle \mathrm{ABC}$とその内部の点$\mathrm{O}$をとったとき，

$\mathrm{OA}=1+\sqrt{3}$
$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$
$\mathrm{OC}=\sqrt{2}$
$\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$

となっていた．
このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{-[テ]-\sqrt{[ト]}}{[ナ]}$であるので
\[ \angle \mathrm{AOB}={[ニ][ヌ][ネ]}^\circ \]
である．同様に$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-[ノ]-\sqrt{[ハ]}$から
\[ \angle \mathrm{AOC}={[ヒ][フ][ヘ]}^\circ \]
である．したがって，
\[ \angle \mathrm{BOC}={[ホ][マ][ミ]}^\circ \]
となる．また，
\[ \sin {[ホ][マ][ミ]}^\circ=\frac{\sqrt{[ム]} \left( [メ]+\sqrt{[モ]} \right)}{4} \]
である．したがって，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle [ヤ]+\frac{[ユ] \sqrt{[ヨ]}}{2}$である．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x<2\pi$において，$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)以下の文章に「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ．ただし，$n$は自然数とする．

(i) $n$が$6$の倍数であることは，$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$．
(ii) $n$が奇数であることは，$n^2$が奇数であるための$[リ]$．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)$1$から$13$までの整数が$1$つずつ書かれた$13$枚のカードの中から$3$枚を選ぶとき，偶数が書かれたカードが$2$枚以上含まれる選び方は$[あ]$通りであり，$11$以上の数が書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる選び方は$[い]$通りである．
(2)$\alpha=2+\sqrt{5}$とするとき，$\alpha$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式$x^2+a_1x+b_1=0$を求めると$a_1=[う]$，$b_1=[え]$である．また自然数$n$に対して，$\alpha^n$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式を$x^2+a_nx+b_n=0$とすると，$b_n=[お]$であり，$a_n^2+a_{2n}=[か]$である．
(3)実数$m$に対して
\[ A(m)=\int_0^1 x(e^x-m)^2 \, dx \]
とおくと，関数$A(m)$は$m=[き]$のとき最小値$[く]$をとる．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

数直線上の座標$1,\ 2,\ 3$で表される位置に置かれた点に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{screen}
操作$\mathrm{T}$

\mon[$(\mathrm{a})$] 点が$1$または$2$の位置に置かれている場合は確率$\displaystyle \frac{3}{4}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で正の方向へ$1$だけ動かす．
\mon[$(\mathrm{b})$] 点が$3$の位置に置かれている場合は確率$\displaystyle \frac{3}{4}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で負の方向へ$1$だけ動かす．

\end{screen}
以下，$n$を自然数とする．


(1)$1$の位置に置かれている点$\mathrm{A}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{A}$が$1$の位置に置かれている確率を$p_n$，$2$の位置に置かれている確率を$q_n$とすると，$p_n=[あ]$，$q_n=[い]$である．
(2)$2$の位置に置かれている点$\mathrm{B}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{B}$が$2$の位置に置かれている確率を$q_n^\prime$とすると，$q_n^\prime=[う]$である．
(3)$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がともに$1$の位置に置かれているとする．はじめに$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとし，点$\mathrm{C}$が$1$の位置を離れた次の回からは$\mathrm{O}$君が加わって，$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うのと同時に，$\mathrm{K}$君とは独立に，$\mathrm{O}$君が点$\mathrm{D}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとする．

$(3-1)$ $\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がともに$2$の位置に置かれている確率を$r_n$とすると$r_1=0$，$r_2=[え]$であり，一般に$n \geqq 2$に対して$r_n=[お]$である．
$(3-2)$ $\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がどちらも$2$の位置に置かれていない確率を$s_n$とすると$s_1=[か]$である．また一般に$n \geqq 2$に対して$s_n-r_n=[き]$である．

以下の文章の空欄に適切な式を入れて文章を完成させなさい．また$(3) \ (ⅱ)$に答えなさい．

放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$を$C$で表す．$C$上にない点$\displaystyle \mathrm{P}(X,\ Y) \left( \text{ただし} Y<\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2} \right)$から$C$に引いた$2$本の接線のうち，接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とし，大きい方を$\ell_2$とする．また$\ell_1$，$\ell_2$と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$とする．


(1)接線$\ell_1,\ \ell_2$の傾き$m_1,\ m_2$はそれぞれ$m_1=[あ]$，$m_2=[い]$である．
(2)$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$における$C$の法線をそれぞれ$L_1$，$L_2$とするとき，$L_1$と$L_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$X,\ Y$を用いた式で表すと
\[ \left( [う],\ [え] \right) \]
である．
(3)$\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{PQ}_2$が一定値$\alpha$（ただし$0<\alpha<\pi$）となるような点$\mathrm{P}(X,\ Y)$の軌跡を$S(\alpha)$で表す．

(i) $\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の方程式は$[お]$である．

(ii) $\displaystyle \alpha \neq \frac{\pi}{2}$のときに$S(\alpha)$を求めなさい．

(4)点$\mathrm{P}(X,\ Y)$が$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の上を動くとき，点$\mathrm{R}$が描く軌跡の方程式は$[か]$である．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{BAC}=2\theta$とする．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円$C_1$の半径を$R_1(\theta)$とする．$R_1(\theta)$を$\theta$の式で表すと$R_1(\theta)=[あ]$である．また$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で変化させるときに$R_1(\theta)$が最大値をとるような$\theta$の値を$\theta_1$とすると
\[ \sum_{k=1}^\infty \sin^k \theta_1=[い] \]
が成り立つ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の内側に次のように円$C_2$，$C_3$，$\cdots$，$C_n$，$\cdots$を作る．円$C_1$の外側にあって円$C_1$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_2$とし，円$C_1$，$C_2$の外側にあって円$C_2$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_3$とする．以下同様に自然数$n \geqq 2$に対して，円$C_1$，$C_2$，$\cdots$，$C_{n-1}$の外側にあって円$C_{n-1}$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_n$とする．$C_n$の半径$R_n(\theta)$を$\theta$と$n$の式で表すと$R_n(\theta)=[う]$である．
(3)$x$の$2$次式$g_n(x)=[え]$に対して
\[ \frac{d}{d\theta}\log R_n(\theta)=-\frac{g_n(\sin \theta)}{\sin \theta \cos \theta} \]
が成り立つ．また$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で変化させるときに$R_n (\theta)$が最大値をとるような$\theta$の値を$\theta_n$とすると$\sin \theta_n=[お]$である．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin \theta_n=[か]$である．このことから，$\theta=\theta_n$のときの円$C_n$の面積$S_n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2S_n=[き]$が成り立つ．

次の問いに答えよ．

(1)次の文章の$[　]$に適する答えを記入せよ．
次のように$1$から$5$までの数字が書かれたカードを用意する．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \]
それに次のように$4$の数字が書かれたカードを$1$枚加える．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \quad \fbox{ $4$ } \]
この$6$枚のカードを$1$列に並べて$6$桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の場合の数は$[$①$]$であり，その中で$5$の倍数となる相異なる整数の場合の数は$[$②$]$である．次に，この$6$枚のカードに$0$と書かれたカードを加えて$7$枚のカードにし，この$7$枚のカードを$1$列に並べる．左端に$0$以外のカードが来ることによって$7$桁の相異なる整数になる場合の数は$[$③$]$である．その中で，$1$のカードと$2$のカードが隣りあう相異なる整数の場合の数は$[$④$]$である．
(2)次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
\[ \int x \log (1+x) \, dx \]

以下の問に答えよ．

(1)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．

(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である．
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である．
(iii) 数学は美しい．

(2)次の$(ⅰ)$～$\tokeigo$の$[　]$の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない，必要十分条件である，必要条件でも十分条件でもない，のいずれが当てはまるか答えよ．

(i) $x$が偶数であることは，$x$が整数であるための$[　]$．
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは，三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[　]$．
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき，$y>2x^2$であることは，$y>x^2-2x-2$であるための$[　]$．
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは，四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[　]$．
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[　]$．

(3)次の命題(ア)，(イ)の逆，裏，対偶をそれぞれ書け．また，元の命題，逆，裏，対偶の真偽をそれぞれ答えよ．

\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である．
\mon[(イ)] $n$を整数とする．$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である．

次の文章中の$[ア]$から$[ラ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係式を満たすとする．
\[ a_1=0, \quad \left\{ \begin{array}{l}
b_n=\displaystyle\frac{1}{5}a_n+1 \\
a_{n+1}=3b_n+2
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_1 = [ア]$で，$n \geq 1$に対して$b_{n+1} = \displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]} b_n + \frac{[エ]}{[オ]}$となる．これより，
\[ b_n = \displaystyle\frac{[カ]}{[キ]} - \frac{[ク]}{[ケ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]} \right)^{n-1} \quad (n \geq 1) \]
となるので，
\[ \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{[シ]}{[ス]}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{[セ]}{[ソ]} \]
となる。また，
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n}-a_n) = \frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト]} \]
である．
(2)複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta (0 \leq \theta<2\pi)$に対して，複素数$\omega$を
\[ \omega = (4+3i)z + 6i\,\overline{z} \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位を，$\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$は$z$と共役な複素数を表す．
いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす．このとき，$\omega$の実部の最大値は[ナ]，最小値は[ニ]であり，$\omega \overline{\omega}$の最大値は[ヌ][ネ][ノ]，最小値は[ハ][ヒ]である．ただし，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数を表す．

(3)$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が，
\[ f^\prime(x) = 2\log x + \frac{1}{7-2e} \int_1^{e} \frac{f(t)}{t}\, dt, \quad f(1)=0 \]
を満たすとする．ここで，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．$f(x)$を求めると，
\[ f(x) = [フ] x\log x - \frac{[ヘ]}{[ホ]} x + \frac{[マ]}{[ミ]} \quad (x>0) \]
となる．関数$f(x)$は$\displaystyle x=e^{-\frac{[ム]}{[メ]}}$のとき，最小値
\[ -[モ]e^{-\frac{[ヤ]}{[ユ]}} + \frac{[ヨ]}{[ラ]}\]
をとる。

次の文章中の$[ア]$から$[ヒ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)$a$を実数とするとき，方程式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \]
を考える．この方程式の実数解が$2$個であるための条件は
\[ a<[ア],\quad [イ]<a<[ウ][エ] \]
であり，実数解を持たないための条件は
\[ a>[オ][カ] \]
である．また，次の不等式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \]
には，正の整数解が$[キ]$個，負の整数解が$[ク]$個ある．
(2)空間内に点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，それぞれの大きさと内積が
\[ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48
\end{array} \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{[ケ]} \pi$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle t=\frac{[ソ]}{[タ]}$のときである．したがって，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[チ][ツ]$である．
(3)三角関数についての等式
\[ [テ] \cos^3 \theta-[ト] \cos \theta-\cos 3\theta=0 \]
を利用して，$t$に関する$3$次方程式
\[ [テ]t^3-[ト]t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \]
を解いたとき，$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの$2$つの解は
\[ \cos \frac{[ナ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}+\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
と
\[ \cos \frac{[ノ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}-\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
となる．これより，
\[ \tan \frac{[ナ]}{12} \pi=[ハ]-\sqrt{[ヒ]} \]
となる．