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北里大学 私立 北里大学 2016年 第1問
次の文中の$[ア]$~$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい.

(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である.また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である.

(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は,$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である.
(3)$i$を虚数単位とし,$z=-1+\sqrt{3}i$とすると,
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である.また,$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると,
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる.
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である.

(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える.
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき,これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する.
また,$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき,$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは,$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している.
北里大学 私立 北里大学 2016年 第2問
次の文中の$[ア]$~$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい.

$xy$平面上のいくつかの曲線および直線について考える.

(1)曲線$C_1:y=x(x-2)$と$x$軸によって囲まれた領域の面積を$S$とすれば$\displaystyle S=\frac{[ア]}{[イ]}$である.
原点を通る直線$\ell:y=kx$と$C_1$は,これらが接する場合を除き$x=0$および$x=[ウ]+[エ]k$で交わる.
また,$\ell$が$S$を等分するとき,$\displaystyle k=[オ]+\left( [カ] \right)^{1/ \mkakko{キ}}$である.
(2)曲線$C_2:y=x |x-2|$と,直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき,$k=[ク]$であり,$C_2$と$\ell$は$x=[ケ]$で再び交わる.このとき,$C_2$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$[コ]$である.
(3)曲線$C_3:y=x(x-2)^2$と$x$軸によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である.
$C_3$と直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき,$k=[ス]$であり,$C_3$と$\ell$は$x=[セ]$で再び交わる.このとき,$C_3$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]}$である.
$C_3$は$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$で極大値をとるから,曲線$C_3$と,直線$L:y=a$が異なる$3$つの共有点をもつような$a$の範囲は,$\displaystyle 0<a<\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]}$である.
昭和大学 私立 昭和大学 2015年 第5問
$x,\ y,\ z$を実数とするとき,次の$(1)$~$(6)$までの文中の空欄に当てはまるものを$(ア)$~$(エ)$から一つ選べ.

(1)$xyz=0$は$xy=0$の$[ ]$.
(2)$x+y+z=0$は$x+y=0$の$[ ]$.
(3)$x(y^2+1)=0$は$x=0$の$[ ]$.
(4)$x^2+y^2=0$は$|x-y|=x+y$の$[ ]$.
(5)$xy<0$は$|x+y|>x+y$の$[ ]$.
(6)$(x^2+y^2)(x^2+z^2)=0$は$x=0$の$[ ]$.


\mon[(ア)] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[(イ)] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[(ウ)] 必要十分条件である
\mon[(エ)] 必要条件でも十分条件でもない
北里大学 私立 北里大学 2014年 第1問
次の文中の$[ア]$~$[ヒ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい.

(1)複素数$z=-1+i$を考える.ここで,$i$は虚数単位である.このとき,
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である.また,
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる.
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$,最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である.

(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと,
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる.
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$をとる.線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は,
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である.
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている.よくかきまぜた後,この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき,$2$個とも赤の確率を$p$,$2$個のうち$1$個が赤,$1$個が白の確率を$q$,$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると,それらの比例関係は次のようになった.
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$,白玉の個数は$[ネ]$である.
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする.
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき,$a=[ノ]$,$b=[ハ]$,$c=[ヒ]$である.
北里大学 私立 北里大学 2014年 第2問
次の文中の$[ア]$~$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい.

(1)数列$\{a_n\}$は$a_1=1$,$a_{n+1}=3a_n-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される.ここで,$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくと,$b_1=[ア]$,$b_2=[イ]$であり,数列$\{b_n\}$の一般項は,
\[ b_n=\frac{[ウ]}{[エ]} \left\{ ([オ])^{n-1}+[カ] \right\} \]
となる.初項$b_1$から第$n$項$b_n$までの和$S_n$は,
\[ S_n=\frac{[キ]}{[ク]} \left\{ ([ケ])^n+[コ]n+[サ] \right\} \]
である.また,数列$\{a_n\}$の一般項は,
\[ a_n=\frac{[シ]}{[ス]} \left\{ ([セ])^{n-1}+[ソ]n+[タ] \right\} \]
と表される.
(2)奇数の列を
\[ 1 \;|\; 3,\ 5,\ 7 \;|\; 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17 \;|\; 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31 \;|\; \cdots \]
のような群にわける.つまり,第$1$群は$1$のみからなる.このとき,第$n$群に含まれる項の数は$[チ]n+[ツ]$であるので,第$1$群から第$n-1$群までの項の数は,
\[ [テ]n^2+[ト]n+[ナ] \]
である.したがって,第$n$群の最初の項の値は,
\[ [ニ]n^2+[ヌ]n+[ネ] \]
である.また,第$n$群に含まれる数の総和は,
\[ [ノ] n^3+[ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \]
である.
北里大学 私立 北里大学 2014年 第3問
次の文中の$[ア]$~$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい.

曲線$C$を$y=x^2-6x+13$とし,曲線$C$の接線で点$(p,\ 0)$を通るものを考える.接点の$x$座標を$\alpha$とすると,接線の傾きは$[ア] \alpha+[イ]$,接点の座標は$(\alpha,\ [ウ] \alpha^2+[エ] \alpha+[オ][カ])$であるから,接線の方程式は,
\[ y=([ア] \alpha+[イ])x+[キ] \alpha^2+[ク] \alpha+[ケ][コ] \]
と表される.この直線が点$(p,\ 0)$を通ることから$\alpha$は次の$2$次方程式
\[ \alpha^2+[サ]p \alpha+[シ]p+[ス][セ]=0 \]
を満たす.この方程式は$2$つの解を持つから接線は$2$本存在し,傾きが正である接線の方程式は,
\[ y=[ソ] \left( p+[タ]+\sqrt{p^2+[チ]p+[ツ][テ]} \right) (x+[ト]p) \]
と表される.
任意の$x$における曲線$C$の$y$座標と接線の$y$座標の差は,両者が$x=\alpha$で接しているので,
\[ (x-\alpha)^2 \]
と書ける.これを用いると,曲線$C$と$2$本の接線で囲まれた部分の面積$S$は,
\[ S=\frac{[ナ]}{[ニ]} \left( p^2+[チ]p+[ツ][テ] \right)^{\frac{[ヌ]}{[ネ]}} \]
である.$p$を変化させるとき,$S$は$p=[ノ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ハ][ヒ]}{[フ]}$をとる.
北里大学 私立 北里大学 2013年 第1問
次の文中の$[ア]$~$[ニ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい.

(1)複素数$z=1-\sqrt{3}i$のとき,
\[ \frac{1}{z}=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]} \]
また,
\[ z^3=[エ]+[オ]i \]
である.
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$において定義された関数$\displaystyle f(x)=|x-1|+\frac{1}{2} |x-2|$の最小値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$,最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である.

(3)$\log_{|a-b|}27=3$,および,$2^{2b-a}=8$とする.このとき,$a=[コ]$,$b=[サ]$,または,$a=[シ]$,$b=[ス]$である.
(4)$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=-\sqrt{2}$のとき,$\displaystyle \theta=\frac{[セ]}{[ソ][タ]} \pi$であり,$\displaystyle (\sin \theta+\cos \theta)^2=\frac{[チ]}{[ツ]}$である.ただし,$\displaystyle -\frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{2} \pi$とする.
(5)$7$つの文字$\mathrm{INSTANT}$を一列に並べるとき,相異なる並べ方は$\kakkofour{テ}{ト}{ナ}{ニ}$通りである.
北里大学 私立 北里大学 2013年 第2問
次の文中の$[ア]$~$[ホ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい.

放物線$y=-x^2+1$を$C_1$,また$y=(x-t)^2+kt+1$を$C_2$とする.ここで$k>0$とし,$t$は任意の実数値をとるものとする.$t$の値が変化するに従い,$C_2$の頂点の軌跡はある直線になる.この直線を$L$とする.

(1)$k=1$の場合を考える.このとき,直線$L$の方程式は,$y=[ア]x+[イ]$である.また$C_1$および$L$によって囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である.
(2)$\displaystyle k=\frac{1}{2}$の場合を考える.$C_1$と$C_2$がただ$1$つの点で接する場合,接点の座標は
\[ (x,\ y)=([オ],\ [カ]) \]
および
\[ (x,\ y)=\left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である.
$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点をもつのは,$[サ]<t<[シ]$のときである.このとき,それらの$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすれば,
\[ \alpha+\beta=[ス]t+[セ],\quad \alpha\beta=\frac{[ソ]}{[タ]}t^2+\frac{[チ]}{[ツ]}t+[テ] \]
である.また,$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積$S(t)$は,
\[ S(t)=\frac{1}{[ト]} ([ナ]t^2+[ニ]t+[ヌ])^p,\quad \text{ただし} p=\frac{[ネ]}{[ノ]} \]
である.この面積は$\displaystyle t=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ][ホ]}$をとる.
北里大学 私立 北里大学 2013年 第3問
次の文中の$[ア]$~$[ホ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい.

点$\mathrm{A}$の座標を$(4,\ 0)$,点$\mathrm{B}$の座標を$(0,\ 3)$とし,点$\mathrm{A}$,点$\mathrm{B}$を通る直線$L$と点$\mathrm{A}$で接する半径$r$の円を考える.このような円は,直線$L$より上の領域と下の領域にそれぞれ存在する.直線$L$より上の領域に存在する円を$C_1$,下の領域に存在する円を$C_2$とする.また,点$\mathrm{B}$を通る円$C_1$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_1$,同じく,点$\mathrm{B}$を通る円$C_2$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_2$とする.
(図は省略)
(1)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$と等しいとする.
円$C_1$の中心の座標は$([ア],\ [イ])$,円$C_2$の中心の座標は$([ウ],\ [エ])$である.
また,点$\mathrm{P}_1$の座標は$([オ],\ [カ])$,点$\mathrm{P}_2$の座標は$([キ],\ [ク])$である.
(2)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$の$2$倍であるとする.
円$C_1$の中心の座標は$([ケ][コ],\ [サ])$,円$C_2$の中心の座標は$([シ],\ [ス])$である.
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線は,線分$\mathrm{AP}_1$を垂直二等分する.その交点を$\mathrm{Q}_1$とする.同様に,点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線は,線分$\mathrm{AP}_2$を垂直二等分する.その交点を$\mathrm{Q}_2$とする.
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+[タ]$であり,点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_1$を通る直線の式は,$\displaystyle y=-\frac{[ソ]}{[セ]}x+[チ]$と表すことができる.
同様に,点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[ツ][テ]}{[ト]}x+[タ]$であり,点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_2$を通る直線の式は,$\displaystyle y=-\frac{[ト]}{[ツ][テ]}x+\frac{[ナ]}{[ニ][ヌ]}$と表すことができる.
点$\mathrm{Q}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ノ]} \right)$,点$\mathrm{P}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ヒ][フ]}{[ヘ]},\ \frac{[ホ]}{[ヘ]} \right)$となる.
神戸薬科大学 私立 神戸薬科大学 2012年 第1問
以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ.

(1)$10 \%$の食塩水と$15 \%$の食塩水を混ぜて$12 \%$以上$13 \%$以下の食塩水$1000 \mathrm{g}$を作るには,$10 \%$の食塩水を$[ ] \mathrm{g}$以上$[ ] \mathrm{g}$以下にすればよい.
(2)$20$から$200$までの整数について$6$で割って$3$余る数の総和を求めると$[ ]$である.
(3)$x^2-2xy+y^2+3x-3y+2$を因数分解すると$[ ]$である.
(4)$m<\log_4 25<m+1$を満たす整数$m$を求めると$m=[ ]$である.
(5)$2^{3-\log_2 x}-2^{\frac{2}{\log_x 4}}+2=0$を$x$について解くと$x=[ ]$である.
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