$k$は正の整数とする．定積分$\displaystyle I_k=\int_k^{k+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n I_k$とする．$S_1,\ S_2,\ S_3$を求めよ．

(2)不等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}}<I_k<\frac{1}{\sqrt{k}}$が成り立つことを示せ．

(3)$\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{100}}$の整数部分を求めよ．

$x$は$0 \leqq x \leqq 9$を満たす整数とし，$x^3-9x^2+18x=t$とする．$|t|$の一の位が$0$となる$x$をすべて求めよ．

$n$を$n \geqq 2$である整数とするとき，以下の各問に答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{\tan^n x}{\sin x}$の導関数を求めよ．

(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x} \, dx$を求めよ．

(4)式
\[ \int \tan^n x \, dx=\frac{1}{n-1} \tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2} x \, dx \]
が成り立つことを証明せよ．

(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^3 x \, dx$を求めよ．

三角形があり，その頂点を反時計回りの順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とおく．表と裏の出現確率が等しいコインを投げ，表が出たら時計回りに隣り合う次の頂点へ，裏が出たら反時計回りに隣り合う次の頂点へ移動する試行を繰り返し行う．たとえば，頂点$\mathrm{A}$にいてコインの裏が出たならば，頂点$\mathrm{B}$へ移動することになる．

頂点$\mathrm{A}$から移動を開始するとき，$n$回の試行の後に頂点$\mathrm{A}$にいる確率を$P_n(\mathrm{A})$とする．このとき，以下の各問に答えよ．ただし，$n$は$n \geqq 1$である整数とする．

(1)$P_1(\mathrm{A})$を求めよ．
(2)$P_4(\mathrm{A})$を求めよ．
(3)$n \geqq 2$のとき$P_n(\mathrm{A})$を$P_{n-1}(\mathrm{A})$の式で表せ．
(4)$n \geqq 2$のとき$P_n(\mathrm{A})-P_{n-1}(\mathrm{A})$を$n$の式で表せ．
(5)$P_n(\mathrm{A})$を求めよ．

$3$次方程式$\displaystyle x^3+ax^2+bx+\frac{b}{k}=0$は$2$つの異なる整数解$p,\ q$をもち，$p$は重解である．ただし，$pq \neq 0$とする．また，$k$は，$k \neq 0$の整数とする．このとき，$a,\ b,\ k$の値の組をすべて求めよ．

複素数平面上の点$\mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$を表す複素数をそれぞれ$z_0,\ z_1,\ z_2,\ \cdots$とする．原点$\mathrm{O}$および整数$k (k \geqq 0)$に対して$\displaystyle \angle \mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}=\frac{\pi}{2}$を満たす．また，$\angle \mathrm{P}_k \mathrm{OP}_{k+1}=\theta$とする．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$z_{k+1}$を$z_k$で表せ．
(2)$z_0=a$（$a$は正の実数）であるとき，三角形$\mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}$の面積$s_k$を$a,\ \theta$で表せ．
(3)三角形の面積の和$\displaystyle A_n=\sum_{k=0}^{n-1}s_k$を$a,\ \theta$で表せ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．

(1)方程式$|x+2|-|x-1|=3x-4$を満たす$x$の値は$[ア]$である．
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$\mathrm{A}(5,\ 2)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 2)$を通るとき，$a=[イ]$，$b=[ウ]$，$c=[エ]$である．この関数$y$のグラフを$x$軸方向に$-3$だけ平行移動したグラフを表す$2$次関数は$y=[オ]$である．
(3)あるクラスの男子学生の身長が，それぞれ$184 \, \mathrm{cm}$，$160 \, \mathrm{cm}$，$165 \, \mathrm{cm}$，$172 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$175 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$180 \, \mathrm{cm}$であるとき，中央値は$[カ] \, \mathrm{cm}$で，分散は$[キ]$である．
(4)$1$から$8$までの数字がひとつずつ書かれた$8$枚のカードの中から同時に$2$枚を選ぶとき，その和が$9$の場合は$100$点，その積が$40$以上の場合は$-25$点，その他の場合は$20$点与えられるものとする．得点の期待値は$[ク]$点である．
(5)不定方程式$17x-13y=1$の整数解を整数$m$を用いて表すと$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．

整数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から三つの整数を重複なく選び，それを並べて$3$桁の整数を作る．次の問いに答えよ．

(1)このような整数は何個あるか．
(2)このような整数をすべて足し合わせるといくらになるか．
(3)このような整数のうち，$2$の倍数は何個あるか．
(4)このような整数のうち，$3$の倍数は何個あるか．
(5)このような整数を重ねて$6$桁の整数を作る．例えば，$215$を重ねて$215215$とする．このようにしてできた$6$桁の整数は$7$の倍数であることを示せ．

$\alpha,\ \beta$を正の無理数とする．$2$つの集合$A,\ B$を
\[ A=\{ \, [n \alpha] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \},\quad B=\{ \, [n \beta] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \} \]
で定める．集合$C$を$A$と$B$の共通部分とする．集合$D$を$A$と$B$の和集合とする．$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$のとき以下の問いに答えよ．ただし，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

(1)$C$は空集合となることを示せ．
(2)$E=\{ \, n \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 99 \, \}$のとき，$E$は$D$の部分集合となることを示せ．

数字$0$を$6$個，数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を$1$個ずつ使ってできる$10$桁の整数について，次の問いに答えよ．

(1)全部で何個の整数ができるか．
(2)$0$が$4$個続くが，$5$個は続かない整数は何個できるか．