次の$[　]$にあてはまるものを記入せよ．

(1)整式$P(x)$を$(x+1)^3$で割ったときの余りが$x^2-x+1$のとき，$P(x)$を$(x+1)^2$で割った余りは，$[アイ]x$である．

(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^n+\left( \frac{1}{3} \right)^n \right\}$の和は，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．

(3)正の整数$a,\ b$について，$a$を$5$で割ると余りが$2$，$b$を$5$で割ると余りが$3$である．積$ab$を$5$で割ったとき，余りは$[オ]$となる．
(4)$3$つの数$4,\ a,\ b$は，この順に等差数列をなし，$a,\ b,\ 4$は，この順に等比数列をなす．このとき$a=[カ]$，$b=[キク]$である．ただし，$a$と$b$は等しくないとする．

$r$は$0<r<1$を満たす実数とする．次の問いに答えよ．ただし，$0^r=0$と定める．

(1)$a \geqq 0$のとき，$x \geqq 0$について，不等式$(a+x)^r \leqq a^r+x^r$を示せ．

(2)$a_k \geqq 0 (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$のとき，不等式$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^r \leqq \sum_{k=1}^n {a_k}^r$を示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々

$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$

で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式

$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$

で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [　] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．

以下の問いに答えよ．

(1)次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \cos (\alpha+\beta) \sin \alpha-\cos \alpha \sin (\alpha-\beta)=\cos 2\alpha \sin \beta \]
(2)$k,\ n$を自然数とし，$\theta$は$\sin \theta \neq 0$を満たすとする．$(1)$の等式で$\alpha=k \theta$，$\beta=\theta$とおくことにより次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta=\frac{\cos (n+1) \theta \sin n \theta}{\sin \theta} \]
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \cos^2 \frac{k \pi}{100}$の値を求めよ．

$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．
\[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2)数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．
\[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3)$m$を整数とする．$\theta \neq 2m\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条件は調べなくてよい．
\[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]

自然数$k$に対して，関数$f_k(x)=-3x^2-2x+a_k$を考える．ただし，$a_k$は$x$に無関係な数列で$a_1=2$とする．関係式$\displaystyle \int_0^{k+1} f_{k+1}(x) \, dx=\int_0^k f_k(x) \, dx-k^2-k$が満たされるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_k$と$a_{k+1}$との関係式を求めよ．
(2)$a_k$を$k$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \int_0^k f_k(x) \, dx$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の計算をせよ．ただし，$i$は虚数単位である．


(i) $\displaystyle \int_1^e x^9 \log x \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac{k\pi}{2n} \right)=[ロ]$

(iii) $(-1+i)^{21}=[ハ]$


(2)$1333$と$1147$の最大公約数は$[ニ]$である．
(3)方程式$8^x+4^x=9 \times 2^x+9$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$において関数$y=2 \sin^2 x+2 \cos x+1$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}=\sqrt{13}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=24$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=[チ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[リ]$である．

曲線$y=e^{-x}$を$C$とし，$n$を自然数とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{-t})$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[イ]$である．
(2)一般に，曲線$C$上の点$\mathrm{P}_n$が与えられたとき，この点$\mathrm{P}_n$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{Q}_n$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．$\mathrm{P}_1(0,\ 1)$から出発して，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$のように点をとる．このとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標は$[ロ]$である．
(3)曲線$C$，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$および直線$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，$S_n=[ハ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=[ニ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$5 \sin \theta \cos \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$，$B=(\sin \theta)^4+(\cos \theta)^4$，$C=(\sin \theta)^8+(\cos \theta)^8$の値を求めよ．
(2)等比数列$\{a_n\}$の初項を$a_1=\alpha$，公比を$r$とする．自然数$n$に対して，$b_n=\log_3 a_n$とおく．数列$\{b_n\}$が初項$b_1=4$，公差$d=-2$の等差数列となるとき，$\alpha$と$r$の値を求めよ．また，$\displaystyle \beta=8 \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の値を求めよ．ただし，$\alpha>0$，$r>0$とする．
(3)定積分$\displaystyle I=\int_{-2}^3 (3 \sqrt{x^4-6x^2+9}-4x) \, dx$の値を求めよ．

$k$は正の整数とする．定積分$\displaystyle I_k=\int_k^{k+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n I_k$とする．$S_1,\ S_2,\ S_3$を求めよ．

(2)不等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}}<I_k<\frac{1}{\sqrt{k}}$が成り立つことを示せ．

(3)$\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{100}}$の整数部分を求めよ．