「数列の和」について
タグ「数列の和」の検索結果
(8ページ目:全498問中71問~80問を表示)![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
ある人が破産したとき,すなわち,借りているお金の一部分しか返すことができなくなったとき,その人の財産(現在残っているものをお金にしたもの)の総額$A$を$n$人の債権者(お金を貸した人)にどう分配するかについて考える.債権者には債権額(貸したお金の額)の少ない順に番号が振られており,第$i$番目の債権者の債権額を$B_i$とすると,$B_i<B_{i+1} (i=1,\ \cdots,\ n-1)$が成り立っている.また,$\displaystyle B=\sum_{i=1}^n B_i$としたとき,$A<B$である.以下では$A=B$のときを含めて,第$i$番目の債権者の分配額$X_i$を,$B_i$の状況に応じて,次のルールに従って決める.
\mon[ケース$1$:] $\displaystyle A \leqq \frac{n}{2}B_1$のときは,$\displaystyle X_i=\frac{1}{n}A (i=1,\ \cdots,\ n)$とする.
\mon[ケース$2$:] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
\displaystyle\frac{1}{2}B_k+\frac{1}{n-k} \left\{ A-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする.
\mon[ケース$3$:] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_{k}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
B_i-\displaystyle\frac{1}{2}B_k-\frac{1}{n-k} \left\{ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k)-A \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする.
\mon[ケース$4$:] $\displaystyle B-\frac{n}{2}B_1 \leqq A$のときは,$\displaystyle X_i=B_i-\frac{1}{n}(B-A) (i=1,\ \cdots,\ n)$とする.
(1)$n=2,\ B_1=60,\ B_2=180$としたとき,$A$が
\[ [$85$][$86$][$87$] \leqq A \leqq [$88$][$89$][$90$] \]
の範囲ならば,$X_1=30$となる.また,$X_2$が$X_1$の$4$倍となるのは,$A$の値が$2$通りあり,小さい順に$[$91$][$92$][$93$]$と$[$94$][$95$][$96$]$の場合である.
(2)$n=3,\ B_1=60,\ B_2=90,\ B_3=180$としたとき,$A=100$ならば,$X_2=[$97$][$98$][$99$]$,$X_3=[$100$][$101$][$102$]$であり,$A=220$ならば,$X_2=[$103$][$104$][$105$]$,$X_3=[$106$][$107$][$108$]$である.
\mon[ケース$1$:] $\displaystyle A \leqq \frac{n}{2}B_1$のときは,$\displaystyle X_i=\frac{1}{n}A (i=1,\ \cdots,\ n)$とする.
\mon[ケース$2$:] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
\displaystyle\frac{1}{2}B_k+\frac{1}{n-k} \left\{ A-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする.
\mon[ケース$3$:] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_{k}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
B_i-\displaystyle\frac{1}{2}B_k-\frac{1}{n-k} \left\{ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k)-A \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする.
\mon[ケース$4$:] $\displaystyle B-\frac{n}{2}B_1 \leqq A$のときは,$\displaystyle X_i=B_i-\frac{1}{n}(B-A) (i=1,\ \cdots,\ n)$とする.
(1)$n=2,\ B_1=60,\ B_2=180$としたとき,$A$が
\[ [$85$][$86$][$87$] \leqq A \leqq [$88$][$89$][$90$] \]
の範囲ならば,$X_1=30$となる.また,$X_2$が$X_1$の$4$倍となるのは,$A$の値が$2$通りあり,小さい順に$[$91$][$92$][$93$]$と$[$94$][$95$][$96$]$の場合である.
(2)$n=3,\ B_1=60,\ B_2=90,\ B_3=180$としたとき,$A=100$ならば,$X_2=[$97$][$98$][$99$]$,$X_3=[$100$][$101$][$102$]$であり,$A=220$ならば,$X_2=[$103$][$104$][$105$]$,$X_3=[$106$][$107$][$108$]$である.
![同志社大学](./img/univ/doshisha.png)
数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=a_n-3n+\frac{1}{2^{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.第$n$項$a_n$に対して,$a_n$を超えない最大の整数を$b_n$,また$c_n$を$c_n=a_n-b_n$より定める.ここで実数$x$に対し$x$を超えない最大の整数とは,$N \leqq x<N+1$を満たす整数$N$とする.このとき次の問いに答えよ.
(1)$a_2,\ a_3,\ b_2,\ b_3$の値をそれぞれ求めよ.
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ.
(3)$n \geqq 3$のとき,数列$\{b_n\}$,$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(4)正の整数$n$に対して,数列$\{d_n\}$を$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n b_kc_k$で定める.数列$\{d_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ.
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=a_n-3n+\frac{1}{2^{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.第$n$項$a_n$に対して,$a_n$を超えない最大の整数を$b_n$,また$c_n$を$c_n=a_n-b_n$より定める.ここで実数$x$に対し$x$を超えない最大の整数とは,$N \leqq x<N+1$を満たす整数$N$とする.このとき次の問いに答えよ.
(1)$a_2,\ a_3,\ b_2,\ b_3$の値をそれぞれ求めよ.
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ.
(3)$n \geqq 3$のとき,数列$\{b_n\}$,$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(4)正の整数$n$に対して,数列$\{d_n\}$を$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n b_kc_k$で定める.数列$\{d_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ.
![明治大学](./img/univ/meiji.png)
次の各問の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ.
(1)$3$次方程式$x^3-6x^2+9x+2-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつときの$a$の値は,$[ア]$または$[イ]$である.ただし,$[ア]<[イ]$とする.
(2)(指定範囲外からの出題だったため,全員正解とした.)
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\displaystyle \cos A=-\frac{1}{2},\ \cos B=\frac{11}{14},\ \cos C=\frac{13}{14},\ \mathrm{AB}=3$であるとき,$\mathrm{BC}=[ア]$である.
(4)方程式$a+b+c+5d=17$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の$0$以上の整数解の組の総数は$[ア][イ][ウ]$個である.
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$の値は$\displaystyle \frac{[ア][イ][ウ]}{[エ][オ][カ]}$である.
(1)$3$次方程式$x^3-6x^2+9x+2-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつときの$a$の値は,$[ア]$または$[イ]$である.ただし,$[ア]<[イ]$とする.
(2)(指定範囲外からの出題だったため,全員正解とした.)
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\displaystyle \cos A=-\frac{1}{2},\ \cos B=\frac{11}{14},\ \cos C=\frac{13}{14},\ \mathrm{AB}=3$であるとき,$\mathrm{BC}=[ア]$である.
(4)方程式$a+b+c+5d=17$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の$0$以上の整数解の組の総数は$[ア][イ][ウ]$個である.
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$の値は$\displaystyle \frac{[ア][イ][ウ]}{[エ][オ][カ]}$である.
![東邦大学](./img/univ/toho.png)
$2$つの変量をもつ$100$個のデータ$(x_1,\ y_1)$,$(x_2,\ y_2)$,$\cdots$,$(x_{100},\ y_{100})$が,
\[ \sum_{i=1}^{100} {x_i}^2=500,\quad \sum_{i=1}^{100} {y_i}^2=900,\quad \sum_{i=1}^{100} x_iy_i=500 \]
を満たす場合を考える.$\displaystyle X=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} x_i$および$\displaystyle Y=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} y_i$とするとき,点$(X,\ Y)$の存在範囲は不等式$\displaystyle \frac{(Y-X)^2}{[シ]}+\frac{X^2}{[ス]} \leqq 1$の表す領域である.また,$|X+Y|$のとり得る値の範囲は$0 \leqq |X+Y| \leqq [セ] \sqrt{[ソ]}$である.
\[ \sum_{i=1}^{100} {x_i}^2=500,\quad \sum_{i=1}^{100} {y_i}^2=900,\quad \sum_{i=1}^{100} x_iy_i=500 \]
を満たす場合を考える.$\displaystyle X=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} x_i$および$\displaystyle Y=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} y_i$とするとき,点$(X,\ Y)$の存在範囲は不等式$\displaystyle \frac{(Y-X)^2}{[シ]}+\frac{X^2}{[ス]} \leqq 1$の表す領域である.また,$|X+Y|$のとり得る値の範囲は$0 \leqq |X+Y| \leqq [セ] \sqrt{[ソ]}$である.
![中京大学](./img/univ/chukyo.png)
条件$\displaystyle a_1=\frac{2}{5}$,$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{2n+7}{6} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$がある.このとき,$\displaystyle a_n=\frac{[ア]}{n^2+[イ]n+[ウ]}$であり,$\displaystyle \sum_{n=1}^{16} a_n=\frac{[エ][オ][カ]}{[キ][ク]}$である.
![甲南大学](./img/univ/kounan.png)
次の和を求めよ.
\[ \sum_{k=1}^n \frac{2}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}} \]
\[ \sum_{k=1}^n \frac{2}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}} \]
![甲南大学](./img/univ/kounan.png)
次の和を求めよ.
\[ \sum_{k=1}^n \frac{2}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}} \]
\[ \sum_{k=1}^n \frac{2}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}} \]
![甲南大学](./img/univ/kounan.png)
自然数$n$の末尾に連続して並ぶ$0$の数を$f(n)$と表すものとする.例えば,$f(1200)=2$,$f(1201)=0$,$f(1220)=1$である.また$m$を自然数として,$\displaystyle S_m=\sum_{k=1}^m k$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$f(5^2 \cdot 3^2 \cdot 2^3)$を求めよ.
(2)$f(S_m)=1$となる$m$を小さい方から$4$つ求めよ.
(3)$f(S_m)=3$となる最小の$m$を求めよ.
(1)$f(5^2 \cdot 3^2 \cdot 2^3)$を求めよ.
(2)$f(S_m)=1$となる$m$を小さい方から$4$つ求めよ.
(3)$f(S_m)=3$となる最小の$m$を求めよ.
![福岡大学](./img/univ/fukuoka.png)
次の$[ ]$をうめよ.
(1)方程式$\log_2 (5-x)=\log_8 (x^2-15)$を解くと$[ ]$である.また,変数$a,\ b$が$\log_9 a=(\log_3 b)^2$をみたすとき$\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^8$の最小値は$[ ]$である.
(2)$a_1=-30$,$a_{n+1}-a_n=-2n+18$で定められる数列$\{a_n\}$について,$a_n>0$である$n$の個数を求めると$[ ]$であり,$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$の最大値を求めると$[ ]$である.
(1)方程式$\log_2 (5-x)=\log_8 (x^2-15)$を解くと$[ ]$である.また,変数$a,\ b$が$\log_9 a=(\log_3 b)^2$をみたすとき$\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^8$の最小値は$[ ]$である.
(2)$a_1=-30$,$a_{n+1}-a_n=-2n+18$で定められる数列$\{a_n\}$について,$a_n>0$である$n$の個数を求めると$[ ]$であり,$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$の最大値を求めると$[ ]$である.
![玉川大学](./img/univ/tamagawa.png)
次の$[ ]$を埋めよ.
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする.$\mathrm{CA}=x$とおくとき,
\[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{[ア]+x^2}{[イ]x} \]
である.$\angle \mathrm{BAC}$の最大は,${[ウエ]}^\circ$であり,このとき,$x=[オ]$である.
(2)$1 \leqq x \leqq 100$とする.このとき,方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は,$[カキ]$個で,$x$が最小となる解は,$(x,\ y)=([ク],\ [ケ])$である.
(3)方程式
\[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \]
を解くと,$n$を任意の整数として
\[ x=\frac{\pi}{[コ]}+2n \pi,\ \frac{\pi}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}n \pi \]
となる.
(4)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$,$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする.このとき,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は,
\[ t>[ス],\quad t<-\sqrt{[セ]} \]
であり,鈍角になる条件は,
\[ -\sqrt{[ソ]}<t<[タ] \]
である.
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,$S_n=n^2+n$で表されるとき,
\[ a_n=[チ]n \]
である.また,
\[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{[ツ]} ([テ]n^2+[トナ]n+[ニヌ]) \]
である.
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする.$\mathrm{CA}=x$とおくとき,
\[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{[ア]+x^2}{[イ]x} \]
である.$\angle \mathrm{BAC}$の最大は,${[ウエ]}^\circ$であり,このとき,$x=[オ]$である.
(2)$1 \leqq x \leqq 100$とする.このとき,方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は,$[カキ]$個で,$x$が最小となる解は,$(x,\ y)=([ク],\ [ケ])$である.
(3)方程式
\[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \]
を解くと,$n$を任意の整数として
\[ x=\frac{\pi}{[コ]}+2n \pi,\ \frac{\pi}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}n \pi \]
となる.
(4)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$,$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする.このとき,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は,
\[ t>[ス],\quad t<-\sqrt{[セ]} \]
であり,鈍角になる条件は,
\[ -\sqrt{[ソ]}<t<[タ] \]
である.
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,$S_n=n^2+n$で表されるとき,
\[ a_n=[チ]n \]
である.また,
\[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{[ツ]} ([テ]n^2+[トナ]n+[ニヌ]) \]
である.