次の各問いに答えよ．

(1)複素数$z,\ w$について，次の関係が成立することを示せ．ただし複素数$\alpha$に対し，$\overline{\alpha}$は$\alpha$と共役な複素数を表す．

(i) $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
(ii) $\overline{zw}=\overline{z} \ \overline{w}$

(2)方程式$z^2-z+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．次の各問いに答えよ．

(i) $\alpha,\ \beta$を求めよ．さらにそれらを極形式で表せ．
(ii) $\alpha^{100}+\beta^{100}$を求めよ．

数列$\{a_n\}$はすべての項が整数であり，次の性質を満たしている．

「正の整数$n$の正の約数が$k$個あるとき，これらを$d_1,\ d_2,\ \cdots,\ d_k$とすると，
\[ a_{d_1}+a_{d_2}+\cdots +a_{d_k}=n \]
が成り立つ．」

(1)$a_5=[ツ]$，$a_6=[テ]$，$a_{49}=[ト]$である．
(2)$a_{5^{100}}=[ナ] \cdot 5^{99}$である．
(3)$p,\ q$を$p<q$を満たす$2$つの素数とする．$a_{pq}=pq-11$が成立するならば，$p=[ニ]$，$q=[ヌ]$である．

$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$で，$6 \sin^2 x+\sin x \cos x-2 \cos^2 x=0$が成立しているとき，$-13(\sin 2x+\cos 2x)$の値を求めよ．

次の各問の解答を記入せよ．

(1)正の整数$a$に対して，ある整数$b$が存在して$63a-32b=1$を満たすとする．$a$はこのような性質を満たす正の整数のうちで最小のものであるとする．このとき$ab$の値を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げたとき，出た目すべての積が$4$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし，
\[ b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．$b_1$から$b_{2016}$までの$2016$個の整数のうち$3$の倍数であるものは全部で何個あるか．
(4)$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続な関数で$f(0)=0$，$f(1)=1$であり，$0 \leqq x_1<x_2 \leqq 1$であるすべての$x_1,\ x_2$に対して$f(x_1)<f(x_2)$を満たしているとする．$x=g(y)$を$0 \leqq y \leqq 1$で定義された$f$の逆関数とする．
\[ 5 \int_0^1 f(x) \, dx=2 \int_0^1 g(y) \, dy \]
が成立しているとき$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，$[コ]$においては，$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ．

(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．

関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a \neq 0)$と関数$g(x)=px^3+qx^2+rx+s (p \neq 0)$について考える（$a,\ b,\ c,\ d,\ p,\ q,\ r,\ s$は実数）．

$f(x)+3g(x)=-x^2$，$f^\prime(x)+g^\prime(x)=2x^2-4$，$g(0)=1$が全て成立しているとき，$|2aq|$の値を求めよ．

小数第$1$位までで表される正数$X,\ Y$に対して，$m,\ n$を
\[ X-0.4 \leqq m \leqq X+0.5,\quad Y-0.4 \leqq n \leqq Y+0.5 \quad \cdots \quad ① \]
を満たす$0$以上の整数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$X=2.6$のとき$m=[$1$]$であり，$Y=4.3$のとき$n=[$2$]$である．
(2)関係式$①$を満たす$X,\ Y,\ m,\ n$に対して，さらに関係式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
5X-4Y=22.2 & \cdots & ② \\
2m+3n=26 & \cdots & ③
\end{array} \right. \]
が成立するという．$X,\ Y,\ m,\ n$を求めよう．
関係式$③$を満たす$0$以上の整数$m,\ n$のうちで，対応する$X,\ Y$が関係式$②$を満たすのは$m=[$3$]$，$n=[$4$]$である．このとき，
\[ X=[$3$]+\frac{x}{10},\quad Y=[$4$]+\frac{y}{10} \]
とすると，$5x-4y=[$5$][$6$]$が成り立つ．
以上のことから，$x=[$7$]$，$y=[$8$][$9$]$となる．

$n$と$k$を$n>k$を満たす自然数とする．$n$チームが参加するサッカーの大会がある．この大会では，全てのチームが$k$回の試合を行う．但し，その$k$試合の対戦相手は，全て異なるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$n=4,\ k=2$の場合の大会が，何通りあるかもとめよ．
(2)$n=6,\ k=3$のとき，$1$つの大会の試合の総数をもとめよ．
(3)一般に，この大会が成立するためには，$n$か$k$のどちらかが，偶数でなければならないことを示せ．
(4)各試合の両チームの得点を全て合計し，試合数で割った値を，その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする．
$n=9$のとき，各チームが$k$試合行う大会における，$1$試合の平均得点が，$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする．$1$つの大会における総得点が，もっとも多くなる$k$をもとめよ．

$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．
\[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2)数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．
\[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3)$m$を整数とする．$\theta \neq 2m\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条件は調べなくてよい．
\[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]

$i$を虚数単位とし，$\displaystyle \alpha=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$とする．

(1)$\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=-1$が成立することを示せ．
(2)$z=\alpha+\alpha^2+\alpha^4$とするとき，$z+\overline{z}$と$z \overline{z}$を求めよ．ここで$\overline{z}$は$z$の共役複素数である．
(3)$\alpha+\alpha^2+\alpha^4$を求めよ．