「微分可能」について
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国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問以下では$n$は$0$以上の整数とする．関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問以下では$n$は$0$以上の整数とする．関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
国立 山形大学 2016年 第2問すべての実数$x$に対して微分可能な関数$f(x)$が等式
\[ e^{-x}f(x)+\int_0^x e^{-t} f(t) \, dt=1+e^{-2x}(3 \sin x-\cos x) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$e^{-x} \sin x$の導関数を求めよ．さらに，$f(x)$を求めよ．
\[ e^{-x}f(x)+\int_0^x e^{-t} f(t) \, dt=1+e^{-2x}(3 \sin x-\cos x) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$e^{-x} \sin x$の導関数を求めよ．さらに，$f(x)$を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また設問$(3)$に答えなさい．
時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．
(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．
(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．
(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．
このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．
(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．
このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．
時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．
(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．
(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．
(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．
このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．
(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．
このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．
私立 東京医科大学 2016年 第3問$a$を実数の定数とし，関数
\[ f(x)=|2x^3-x^2-ax-36| \]
を考える．関数$f(x)$は$x=p$で微分可能で，かつ$f(p)=0$であるとする．このとき
\[ p=[アイ],\quad a=[ウエ] \]
であり，かつ関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[オ]}{[カ]}$では微分可能でない．
\[ f(x)=|2x^3-x^2-ax-36| \]
を考える．関数$f(x)$は$x=p$で微分可能で，かつ$f(p)=0$であるとする．このとき
\[ p=[アイ],\quad a=[ウエ] \]
であり，かつ関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[オ]}{[カ]}$では微分可能でない．
国立 群馬大学 2015年 第4問すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第5問すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第5問すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=1$，および$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=1$，および$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第5問微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$，$f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
国立 宇都宮大学 2015年 第4問微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$，$f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．