「当たり」について
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国立 大分大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの箱がある．箱$\mathrm{A}$には，赤玉が$1$個，青玉が$4$個，黄玉が$5$個入っている．箱$\mathrm{B}$には，当たりくじが$3$本，はずれくじが$7$本入っている．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
国立 大分大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの箱がある．箱$\mathrm{A}$には，赤玉が$1$個，青玉が$4$個，黄玉が$5$個入っている．箱$\mathrm{B}$には，当たりくじが$3$本，はずれくじが$7$本入っている．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
国立 岐阜大学 2016年 第1問当たりくじ$k$本を含む$n$本のくじがある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順番で$1$本ずつくじを引く．ただし，$k+3 \leqq n$であり，引いたくじはもとに戻さないものとする．以下の問に答えよ．
(1)$k=1$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(2)$k=2$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(3)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がともに当たりくじを引く確率を求めよ．
(4)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$がはずれくじを引き，かつ$\mathrm{B}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(5)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(1)$k=1$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(2)$k=2$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(3)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がともに当たりくじを引く確率を求めよ．
(4)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$がはずれくじを引き，かつ$\mathrm{B}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(5)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
国立 岐阜大学 2016年 第1問当たりくじ$k$本を含む$n$本のくじがある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順番で$1$本ずつくじを引く．ただし，$k+3 \leqq n$であり，引いたくじはもとに戻さないものとする．以下の問に答えよ．
(1)$k=1$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(2)$k=2$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(3)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がともに当たりくじを引く確率を求めよ．
(4)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$がはずれくじを引き，かつ$\mathrm{B}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(5)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(1)$k=1$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(2)$k=2$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(3)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がともに当たりくじを引く確率を求めよ．
(4)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$がはずれくじを引き，かつ$\mathrm{B}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
(5)$k \geqq 3$のとき，$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ．
国立 大分大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの箱がある．箱$\mathrm{A}$には，赤玉が$1$個，青玉が$4$個，黄玉が$5$個入っている．箱$\mathrm{B}$には，当たりくじが$3$本，はずれくじが$7$本入っている．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である．
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である．同時に$2$本のくじを引いたとき，$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった．このとき，$n=[イ]$である．
(3)$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BC}=24$，$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$である．
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a$と$b$は実数とする．
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると，$x=[カ]$，$y=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である．このとき，直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である．
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で，関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である．
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である．同時に$2$本のくじを引いたとき，$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった．このとき，$n=[イ]$である．
(3)$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BC}=24$，$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$である．
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a$と$b$は実数とする．
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると，$x=[カ]$，$y=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である．このとき，直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である．
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で，関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである．
私立 広島女学院大学 2016年 第4問当たりくじ$3$本，はずれくじ$6$本，計$9$本入った箱がある．この箱から$1$本ずつくじを引き，当たりくじを引いた人は持ち去るが，はずれくじを引いた人は，そのくじを箱に戻すものとする．このとき，次の確率を求めよ．
(1)$2$人目の人が当たる確率は，$[$19$]$である．
(2)$1$人目，$2$人目までがはずれで$3$人目が当たる確率は，$[$20$]$である．
(3)$2$人目と$3$人目の$2$人がともに当たる確率は，$[$21$]$である．
(4)$3$回目までに少なくとも$1$回は当たる確率は，$[$22$]$である．
(1)$2$人目の人が当たる確率は，$[$19$]$である．
(2)$1$人目，$2$人目までがはずれで$3$人目が当たる確率は，$[$20$]$である．
(3)$2$人目と$3$人目の$2$人がともに当たる確率は，$[$21$]$である．
(4)$3$回目までに少なくとも$1$回は当たる確率は，$[$22$]$である．
公立 京都府立大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 10)$，$\mathrm{B}(7,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くものとする．$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最小となるとき，$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)$n$を$18$以下の自然数とする．くじが$18$本あり，そのうち$2$本が当たりくじである．この$18$本の中から$n$本を同時に引くとき，当たりくじを$1$本以上含む確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きくなる$n$の最小値を求めよ．
(3)$1$分間に$8 \, \%$の割合で個数が増えるバクテリアがある．このバクテリア$10$個が初めて$1000$個以上になるのは何分後か．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，答えは整数で求めよ．
(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 10)$，$\mathrm{B}(7,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くものとする．$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最小となるとき，$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)$n$を$18$以下の自然数とする．くじが$18$本あり，そのうち$2$本が当たりくじである．この$18$本の中から$n$本を同時に引くとき，当たりくじを$1$本以上含む確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きくなる$n$の最小値を求めよ．
(3)$1$分間に$8 \, \%$の割合で個数が増えるバクテリアがある．このバクテリア$10$個が初めて$1000$個以上になるのは何分後か．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，答えは整数で求めよ．
国立 琉球大学 2015年 第3問確率$p (0<p<1)$で「当たり」が出るくじを繰り返して引く．$2$回目の「当たり」が出たときにこの試行を終える．$n \geqq 2$として，$n$回目でこの試行を終える確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)$p_n$を求めよ．
(3)$N \geqq 2$として，$\displaystyle \sum_{k=2}^N p_k$を求めよ．
(1)$p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)$p_n$を求めよ．
(3)$N \geqq 2$として，$\displaystyle \sum_{k=2}^N p_k$を求めよ．
私立 中央大学 2015年 第4問「当たり」のカードが$2$枚，「外れ」のカードが$8$枚，計$10$枚のカードが入っている箱がある．この箱を使って，次の試行を行う．
\begin{itemize}
試行$\mathrm{A}$：カードを$1$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
試行$\mathrm{B}$：カードを$2$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
\end{itemize}
$k$を正の整数とし，試行$\mathrm{A}$を$k$回繰り返したとき，
「当たり」の有る試行が，少なくとも$1$回ある確率
を$P(k)$とする．一方，試行$\mathrm{B}$を$k$回繰り返した時に，
$2$枚とも「当たり」である試行が，少なくとも$1$回ある確率
を$Q(k)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)$P(3)$および$Q(2)$を求めよ．
(2)下の常用対数表を用いて，$\log_{10}45$の値を小数点以下$3$位まで求めよ．
\begin{tabular}{c|ccccc}
\hline
$n$ & $2$ & $3$ & $7$ & $11$ & $13$ \\ \hline
$\log_{10}n$ & $0.301$ & $0.477$ & $0.845$ & $1.041$ & $1.114$ \\ \hline
\end{tabular}
(3)$P(10)$と$Q(100)$はどちらが大きいか．根拠を述べて解答せよ．なお，前問の常用対数表を利用してよい．
\begin{itemize}
試行$\mathrm{A}$：カードを$1$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
試行$\mathrm{B}$：カードを$2$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
\end{itemize}
$k$を正の整数とし，試行$\mathrm{A}$を$k$回繰り返したとき，
「当たり」の有る試行が，少なくとも$1$回ある確率
を$P(k)$とする．一方，試行$\mathrm{B}$を$k$回繰り返した時に，
$2$枚とも「当たり」である試行が，少なくとも$1$回ある確率
を$Q(k)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)$P(3)$および$Q(2)$を求めよ．
(2)下の常用対数表を用いて，$\log_{10}45$の値を小数点以下$3$位まで求めよ．
\begin{tabular}{c|ccccc}
\hline
$n$ & $2$ & $3$ & $7$ & $11$ & $13$ \\ \hline
$\log_{10}n$ & $0.301$ & $0.477$ & $0.845$ & $1.041$ & $1.114$ \\ \hline
\end{tabular}
(3)$P(10)$と$Q(100)$はどちらが大きいか．根拠を述べて解答せよ．なお，前問の常用対数表を利用してよい．