座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$を直径の両端とする球面を$\mathrm{S}$とする．また$xy$平面上に放物線$\mathrm{C}:y=x^2-2$を描き，$\mathrm{C}$上に点$\mathrm{R}$をとる．線分$\mathrm{PR}$と球面$\mathrm{S}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）

$2$つの複素数$w,\ z (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．

(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．

座標平面上の動点$\mathrm{P}_t(x,\ y)$の座標が，$t$の関数
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている．また$\mathrm{O}$を原点とする．実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して，線分$\mathrm{OP}_a$と，動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と，線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく．次の問に答えよ．

(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする．導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく．$U(n)$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ．

曲線$C:y=x^2$上の点を$\mathrm{P}$とする．ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする．直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき，その点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である．

曲線$C:y=x^2$上の点を$\mathrm{P}$とする．ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする．直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき，その点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$0<\theta<\pi$とし，$t=\cos 2\theta$とおく．$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる．$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち，$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である．したがって，$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である．
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき，カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく．並べ方は全部で$[オ]$通りである．そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである．また，$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである．
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は，$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる．また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき，$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である．

座標平面上の$2$直線$mx-y+1=0$，$x+my-m-2=0$の交点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$m$は実数とする．

(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．

座標平面上で，関数$f(x)=\sqrt{6-x}$で表される曲線$C:y=f(x)$を考える．$4 \leqq t \leqq 5$を満たす実数$t$に対して，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$と$(t,\ 0)$，$(2,\ 0)$および$(2,\ f(t))$の$4$つの点を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とする．

(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる．
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり，$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる．
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる．ただし，$n$は正の整数とする．

曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．この曲線上の点$\mathrm{P}$における法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とおき，点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．

平面上で，曲線$\displaystyle C:y=\frac{2}{x^2+1}$を考える．

(1)$C$は変曲点を$2$つもつ．その$2$点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$点での$C$の接線を，それぞれ$L_1,\ L_2$とする．$2$直線$L_1,\ L_2$と$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．