「平面」について
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国立 千葉大学 2016年 第3問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 千葉大学 2016年 第2問座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$，$\mathrm{D}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある．点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする．直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし，その交点を$\mathrm{P}_3$とする．
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第4問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 千葉大学 2016年 第1問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 千葉大学 2016年 第1問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 千葉大学 2016年 第1問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 京都工芸繊維大学 2016年 第1問空間内の平面$\alpha$上に平行四辺形$\mathrm{OABC}$があり，
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする．点$\mathrm{C}$を通り$\alpha$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり，
\[ \mathrm{CD}=1 \]
とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$を通る平面を$\beta$とし，$\mathrm{C}$を通り$\beta$に垂直な直線と$\beta$との交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OBD}$の面積を求めよ．
(2)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする．点$\mathrm{C}$を通り$\alpha$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり，
\[ \mathrm{CD}=1 \]
とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$を通る平面を$\beta$とし，$\mathrm{C}$を通り$\beta$に垂直な直線と$\beta$との交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OBD}$の面積を求めよ．
(2)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
国立 高知大学 2016年 第4問座標平面上に放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{6 \sqrt{3}}x^2$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$C$と$2$点$\displaystyle \left( -3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接している円の方程式を求めよ．
(2)$C$と$(1)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$C$と点$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接し，$y$軸にも接している円の方程式を求めよ．
(4)$C$と$y$軸および$(3)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$C$と$2$点$\displaystyle \left( -3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接している円の方程式を求めよ．
(2)$C$と$(1)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$C$と点$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接し，$y$軸にも接している円の方程式を求めよ．
(4)$C$と$y$軸および$(3)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 和歌山大学 2016年 第3問$s,\ t$を実数とする．平面上の異なる$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{PC}}=s \overrightarrow{\mathrm{PA}}+t \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしている．また，点$\mathrm{C}$および点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AB}$上にない．線分$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点$\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{AP}$上にあるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表し，$t$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たすとき，$s$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるとき，$s$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，三角形の内部に周は含まれないものとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表し，$t$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たすとき，$s$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるとき，$s$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，三角形の内部に周は含まれないものとする．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第2問$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．