「平面」について
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国立 山形大学 2016年 第1問$xy$平面上に点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{2})$，点$\mathrm{B}(0,\ -\sqrt{2})$がある．点$\mathrm{P}$は
\[ \mathrm{PB}=\mathrm{PA}+2 \]
を満たすように$xy$平面上を動き，軌跡$C$をえがく．以下の問いに答えよ．
(1)軌跡$C$の方程式を求め，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる範囲を示せ．
(2)軌跡$C$の方程式について，導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を求めよ．
$a$を実数とする．曲線$x^2+(y-a)^2=9$と軌跡$C$との共有点について，以下の問いに答えよ．
\mon[$(3)$] $a=4$のとき，共有点の個数を求めよ．
\mon[$(4)$] $a$の値によって共有点の個数がどのように変わるか調べよ．
\[ \mathrm{PB}=\mathrm{PA}+2 \]
を満たすように$xy$平面上を動き，軌跡$C$をえがく．以下の問いに答えよ．
(1)軌跡$C$の方程式を求め，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる範囲を示せ．
(2)軌跡$C$の方程式について，導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を求めよ．
$a$を実数とする．曲線$x^2+(y-a)^2=9$と軌跡$C$との共有点について，以下の問いに答えよ．
\mon[$(3)$] $a=4$のとき，共有点の個数を求めよ．
\mon[$(4)$] $a$の値によって共有点の個数がどのように変わるか調べよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし，平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし，平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．また，四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2016年 第3問$a,\ b$を正の定数とし，$xy$平面上の双曲線
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする．正の実数$r,\ s$に対して，円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える．
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき，すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき，$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ．
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を，$rs$平面上に図示せよ．
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき，極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ．
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする．正の実数$r,\ s$に対して，円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える．
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき，すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき，$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ．
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を，$rs$平面上に図示せよ．
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき，極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ．
国立 筑波大学 2016年 第1問$k$を実数とする．$xy$平面の曲線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=-x^2+2kx+1-k^2$が異なる共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を持つとする．ただし点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標は正であるとする．また，原点を$\mathrm{O}$とする．
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$k$が$(1)$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S^2$を$k$を用いて表せ．
(4)$k$が$(1)$の範囲を動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大となるような$k$の値と，そのときの重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$k$が$(1)$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S^2$を$k$を用いて表せ．
(4)$k$が$(1)$の範囲を動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大となるような$k$の値と，そのときの重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．
国立 大阪大学 2016年 第3問座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円と放物線$y=\sqrt{2}(x-1)^2$は，ただ$1$つの共有点$(a,\ b)$をもつとする．
(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ．
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ．
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第2問辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して，平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 筑波大学 2016年 第2問$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする．図で示すように，円$C_1$，$C_2$を以下の$(ⅰ)$～$\tokeishi$で定める．
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する．
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である．
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$，$x$軸の正の部分，および円$C_1$と接する．
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす．
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち，$x$軸，直線$\ell$と異なる直線を$m$とし，直線$m$と直線$\ell$，$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ．
（図は省略）
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する．
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である．
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$，$x$軸の正の部分，および円$C_1$と接する．
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす．
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち，$x$軸，直線$\ell$と異なる直線を$m$とし，直線$m$と直線$\ell$，$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ．
（図は省略）
国立 宮城教育大学 2016年 第2問辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して，平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．