$a$を$1<a<3$をみたす実数とし，座標空間内の$4$点
\[ \mathrm{P}_1(1,\ 0,\ 1),\quad \mathrm{P}_2(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{P}_3(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{Q}(0,\ 0,\ a) \]
を考える．直線$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{Q}$と$xy$平面の交点をそれぞれ$\mathrm{R}_1$，$\mathrm{R}_2$，$\mathrm{R}_3$として，三角形$\mathrm{R}_1 \mathrm{R}_2 \mathrm{R}_3$の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を最小にする$a$と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

座標空間内を，長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$が次の$2$条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$をみたしながら動く．

$(ⅰ)$ 点$\mathrm{A}$は平面$z=0$上にある．
$(ⅱ)$ 点$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$が線分$\mathrm{AB}$上にある．

このとき，線分$\mathrm{AB}$が通過することのできる範囲を$K$とする．$K$と不等式$z \geqq 1$の表す範囲との共通部分の体積を求めよ．

実数$t$に対し，複素数
\[ \left( \frac{1}{2}+\cos t+i \sin t \right)^2 \]
の実部を$f(t)$，虚部を$g(t)$とする．座標平面上に
\[ \text{曲線}C:x=f(t),\quad y=g(t) \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
がある．

(1)$0 \leqq t \leqq \pi$のとき$f(t)$のとる値の範囲を求めよ．

(2)曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right),\ g \left( \frac{\pi}{3} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．

(3)曲線$C$の$y \leqq 0$の範囲にある部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$xy$平面上に原点を出発点として動く点$\mathrm{Q}$があり，次の試行を行う．

$1$枚の硬貨を投げ，表が出たら$\mathrm{Q}$は$x$軸の正の方向に$1$，裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$動く．ただし，点$(3,\ 1)$に到達したら$\mathrm{Q}$は原点に戻る．

この試行を$n$回繰り返した後の$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$(x_4,\ y_4)=(0,\ 0)$となる確率を求めよ．
(2)$(x_8,\ y_8)=(5,\ 3)$となる確率を求めよ．
(3)$x_8+y_8 \leqq 4$となる確率を求めよ．
(4)$x_{4n}+y_{4n} \leqq 4k$となる確率を$n$と$k$で表せ．ここで$k$は$n$以下の自然数とする．

$xy$平面上に原点を出発点として動く点$\mathrm{Q}$があり，次の試行を行う．

$1$枚の硬貨を投げ，表が出たら$\mathrm{Q}$は$x$軸の正の方向に$1$，裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$動く．ただし，点$(3,\ 1)$に到達したら$\mathrm{Q}$は原点に戻る．

この試行を$n$回繰り返した後の$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$(x_4,\ y_4)=(0,\ 0)$となる確率を求めよ．
(2)$(x_8,\ y_8)=(5,\ 3)$となる確率を求めよ．
(3)$x_8+y_8 \leqq 4$となる確率を求めよ．
(4)$x_{4n}+y_{4n} \leqq 4k$となる確率を$n$と$k$で表せ．ここで$k$は$n$以下の自然数とする．

座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある．$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s,\ t$をそれぞれ$u,\ v$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が$xy$平面内の直線$ax+by=1 (a^2+b^2 \neq 0)$上を動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．

ひとつのサイコロを$3$回振り，出た目を順に$u,\ v,\ w$とする．そして座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．

座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある．$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s$を$u,\ v$を用いて表せ．
(3)$\ell$は$xy$平面内の直線で，原点$\mathrm{O}$を通らないものとする．直線$\ell$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．

座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0,\ st<1)$を考える．また，$u=st$とする．点$\mathrm{P}$を通る曲線$C$の$2$本の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，これらの接線と曲線$C$との接点をそれぞれ$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{1}{a} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{1}{b} \right)$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{E}(a,\ 0)$，$\mathrm{F}(b,\ 0)$を考える．台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする．$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ．
(5)点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,\ 0)$，$(0,\ 1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする．このとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．

座標平面において，$x$軸上に$3$点$(0,\ 0)$，$(\alpha,\ 0)$，$(\beta,\ 0) (0<\alpha<\beta)$があり，曲線$C:y=x^3+ax^2+bx$が$x$軸とこの$3$点で交わっているものとする．ただし，$a,\ b$は実数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．$S$を$\alpha$と$\beta$の式で表せ．
(2)$\beta$の値を固定して，$0<\alpha<\beta$の範囲で$\alpha$を動かすとき，$S$を最小とする$\alpha$を$\beta$の式で表せ．