「平面」について
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私立 早稲田大学 2016年 第2問座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$を直径の両端とする球面を$\mathrm{S}$とする．また$xy$平面上に放物線$\mathrm{C}:y=x^2-2$を描き，$\mathrm{C}$上に点$\mathrm{R}$をとる．線分$\mathrm{PR}$と球面$\mathrm{S}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2016年 第2問$2$つの複素数$w,\ z (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第3問座標平面上の動点$\mathrm{P}_t(x,\ y)$の座標が，$t$の関数
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている．また$\mathrm{O}$を原点とする．実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して，線分$\mathrm{OP}_a$と，動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と，線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく．次の問に答えよ．
(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする．導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく．$U(n)$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ．
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている．また$\mathrm{O}$を原点とする．実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して，線分$\mathrm{OP}_a$と，動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と，線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく．次の問に答えよ．
(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする．導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく．$U(n)$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第3問平面上に点$\mathrm{A}_0,\ \mathrm{B}_0,\ \mathrm{C}_0,\ \mathrm{A}_1,\ \mathrm{B}_1,\ \mathrm{C}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \mathrm{B}_2,\ \mathrm{C}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \mathrm{B}_3,\ \mathrm{C}_3,\ \cdots$があり，次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たしている．
(i) $\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0=5$，$\mathrm{B}_0 \mathrm{C}_0=7$，$\mathrm{C}_0 \mathrm{A}_0=8$
(ii) $n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，
$\mathrm{A}_{n+1}$は，直線$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$に関して$\mathrm{A}_n$と対称な点であり，
$\mathrm{B}_{n+1}$は，直線$\mathrm{A}_{n+1} \mathrm{C}_n$に関して$\mathrm{B}_n$と対称な点であり，
$\mathrm{C}_{n+1}$は，直線$\mathrm{A}_{n+1} \mathrm{B}_{n+1}$に関して$\mathrm{C}_n$と対称な点である．
次の設問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}_0 \mathrm{A}_1$を求めよ．
(2)$\mathrm{A}_0 \mathrm{A}_2$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}_0 \mathrm{A}_{2016}$を求めよ．
(i) $\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0=5$，$\mathrm{B}_0 \mathrm{C}_0=7$，$\mathrm{C}_0 \mathrm{A}_0=8$
(ii) $n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，
$\mathrm{A}_{n+1}$は，直線$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$に関して$\mathrm{A}_n$と対称な点であり，
$\mathrm{B}_{n+1}$は，直線$\mathrm{A}_{n+1} \mathrm{C}_n$に関して$\mathrm{B}_n$と対称な点であり，
$\mathrm{C}_{n+1}$は，直線$\mathrm{A}_{n+1} \mathrm{B}_{n+1}$に関して$\mathrm{C}_n$と対称な点である．
次の設問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}_0 \mathrm{A}_1$を求めよ．
(2)$\mathrm{A}_0 \mathrm{A}_2$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}_0 \mathrm{A}_{2016}$を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第2問平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OBA}$の二等分線と線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{Q}$とおく．直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{OA}=x$，$\mathrm{OB}=y$，$\mathrm{AB}=1$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と平行で向きが同じである単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$とおく．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行となることを示せ．
(4)$2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-1$であり，$x,\ y$が変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさが最大となるときの$x,\ y$の値と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさをそれぞれ求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行となることを示せ．
(4)$2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-1$であり，$x,\ y$が変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさが最大となるときの$x,\ y$の値と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさをそれぞれ求めよ．
私立 久留米大学 2016年 第1問座標平面上の$2$直線$mx-y+1=0$，$x+my-m-2=0$の交点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$m$は実数とする．
(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．
(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．
私立 久留米大学 2016年 第4問座標平面上で，関数$f(x)=\sqrt{6-x}$で表される曲線$C:y=f(x)$を考える．$4 \leqq t \leqq 5$を満たす実数$t$に対して，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$と$(t,\ 0)$，$(2,\ 0)$および$(2,\ f(t))$の$4$つの点を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とする．
(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる．
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり，$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる．
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる．ただし，$n$は正の整数とする．
(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる．
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり，$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる．
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる．ただし，$n$は正の整数とする．
私立 日本女子大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面が辺$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$5$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{QS}}=k \overrightarrow{\mathrm{QP}}+l \overrightarrow{\mathrm{QR}}$を満たす定数$k$と$l$の値，および$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}$を求めよ．
(1)$5$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{QS}}=k \overrightarrow{\mathrm{QP}}+l \overrightarrow{\mathrm{QR}}$を満たす定数$k$と$l$の値，および$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}$を求めよ．
私立 学習院大学 2016年 第2問平面上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$が楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$上を動くとき，$\displaystyle \frac{t-2}{s-4}$の最大値を求めよ．また，最大値を与える$s,\ t$を求めよ．
私立 学習院大学 2016年 第4問平面上で，曲線$\displaystyle C:y=\frac{2}{x^2+1}$を考える．
(1)$C$は変曲点を$2$つもつ．その$2$点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$点での$C$の接線を，それぞれ$L_1,\ L_2$とする．$2$直線$L_1,\ L_2$と$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$C$は変曲点を$2$つもつ．その$2$点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$点での$C$の接線を，それぞれ$L_1,\ L_2$とする．$2$直線$L_1,\ L_2$と$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．