「平行」について
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国立 香川大学 2016年 第2問座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
国立 九州工業大学 2016年 第3問$a<0$，$b$を実数とする．楕円$C:x^2+4y^2=4$と直線$\ell:y=ax+b$が異なる$2$個の共有点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2) (x_1<x_2)$を持つとし，$\ell$に平行な直線$m$が第$1$象限の点$\mathrm{A}$において$C$と接しているとする．次に答えよ．
(1)$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)直線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$x_2-x_1$を$a,\ b$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{APQ}$の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(5)$b$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$(4)$で求めた$S$の最大値を求めよ．
(1)$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)直線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$x_2-x_1$を$a,\ b$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{APQ}$の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(5)$b$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$(4)$で求めた$S$の最大値を求めよ．
国立 長崎大学 2016年 第3問関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える．$p$を正の数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．
国立 島根大学 2016年 第1問$n$を自然数とする．下図のように，$3$本の平行な道路$\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$があり，$\ell_1,\ \ell_2$をつなぐ縦の道と，$\ell_2,\ \ell_3$をつなぐ縦の道がそれぞれ$n$本ずつ，交互に配置されているとする．
（図は省略）
次の規則に従い図の$\mathrm{X}$から出発して$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$，$\mathrm{R}_n$に到達する経路の個数をそれぞれ$a_n$，$b_n$，$c_n$とする．
\mon[（規則）] $\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$は一方通行であり，西方向には進むことができない．また，一度通った縦の道を再び通ることもできない．
次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ b_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(3)$b_n=c_n$が成り立つことを証明せよ．
(4)$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2,\ \cdots,\ a_k,\ b_k,\ \cdots$と順に並べてできる数列を$\{f_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$f_{n+2}$を$f_n$，$f_{n+1}$を用いて表せ．また，それを用いて$a_7$を求めよ．
（図は省略）
次の規則に従い図の$\mathrm{X}$から出発して$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$，$\mathrm{R}_n$に到達する経路の個数をそれぞれ$a_n$，$b_n$，$c_n$とする．
\mon[（規則）] $\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$は一方通行であり，西方向には進むことができない．また，一度通った縦の道を再び通ることもできない．
次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ b_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(3)$b_n=c_n$が成り立つことを証明せよ．
(4)$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2,\ \cdots,\ a_k,\ b_k,\ \cdots$と順に並べてできる数列を$\{f_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$f_{n+2}$を$f_n$，$f_{n+1}$を用いて表せ．また，それを用いて$a_7$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第2問平面上に$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{OB}=7$となるような$\triangle \mathrm{OAB}$があり，$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第2問平面上に$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{OB}=7$となるような$\triangle \mathrm{OAB}$があり，$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第2問平面上に$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{OB}=7$となるような$\triangle \mathrm{OAB}$があり，$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2016年 第1問空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
国立 愛媛大学 2016年 第4問空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
国立 愛媛大学 2016年 第4問空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．