「導関数」について
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公立 広島市立大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{2x+5}{x+2} (0 \leqq x \leqq 2)$の逆関数を求めよ．また，その定義域を求めよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\sin x}} \]
(3)次の不定積分，定積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x}{(2x+1)^2} \, dx$
(1)関数$\displaystyle y=\frac{2x+5}{x+2} (0 \leqq x \leqq 2)$の逆関数を求めよ．また，その定義域を求めよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\sin x}} \]
(3)次の不定積分，定積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x}{(2x+1)^2} \, dx$
公立 会津大学 2016年 第6問$n$を自然数とする．関数$f(x)=e^x \sin x$の$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式がなりたつことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ f^{(n)}(x)=2^{\frac{n}{2}} e^x \sin \left( x+\frac{n\pi}{4} \right) \]
\[ f^{(n)}(x)=2^{\frac{n}{2}} e^x \sin \left( x+\frac{n\pi}{4} \right) \]
公立 横浜市立大学 2016年 第3問関数$y=\tan x$は，区間$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$で単調増加である．したがって，この区間で逆関数を作ることが出来る．それを
\[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \]
と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．
(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \]
とおく．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)積分
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \]
を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \]
となる関数を求めよ．
(3)積分の等式
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を示せ．
(4)積分
\[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を求めよ．
\[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \]
と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．
(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \]
とおく．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)積分
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \]
を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \]
となる関数を求めよ．
(3)積分の等式
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を示せ．
(4)積分
\[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を求めよ．
公立 九州歯科大学 2016年 第2問関数$F(x)=3x^5-15x^4-35x^3+165x^2+360x+240$の導関数を$f(x)$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle A=\frac{f(2)+f(3)+f(4)}{15}$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を因数分解せよ．
(3)$y=x^2-2x-3$とおく．$f(x)$を$y$を用いて表せ．
(4)不等式$f(x)<750$をみたす$x$の中で，最小の整数を$m$とする．$m$の値を求めよ．また，閉区間$[m,\ m+5]$における$F(x)$の最小値$B$を求めよ．
(1)$\displaystyle A=\frac{f(2)+f(3)+f(4)}{15}$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を因数分解せよ．
(3)$y=x^2-2x-3$とおく．$f(x)$を$y$を用いて表せ．
(4)不等式$f(x)<750$をみたす$x$の中で，最小の整数を$m$とする．$m$の値を求めよ．また，閉区間$[m,\ m+5]$における$F(x)$の最小値$B$を求めよ．
公立 横浜市立大学 2016年 第1問$n$を$n \geqq 2$である整数とするとき，以下の各問に答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\tan^n x}{\sin x}$の導関数を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x} \, dx$を求めよ．
(4)式
\[ \int \tan^n x \, dx=\frac{1}{n-1} \tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2} x \, dx \]
が成り立つことを証明せよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^3 x \, dx$を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\tan^n x}{\sin x}$の導関数を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x} \, dx$を求めよ．
(4)式
\[ \int \tan^n x \, dx=\frac{1}{n-1} \tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2} x \, dx \]
が成り立つことを証明せよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^3 x \, dx$を求めよ．
公立 岐阜薬科大学 2016年 第2問$2$つの変量$x,\ y$が下表で与えられるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$\mathrm{No.}$ & $1$ & $2$ & $3$ & $\cdots$ & $n$ \\ \hline
$x$ & $1$ & $3$ & $5$ & $\cdots$ & $2n-1$ \\ \hline
$y$ & $2$ & $4$ & $6$ & $\cdots$ & $2n$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)変量$x$の平均値$m_x$と分散$s_x^2$を求めよ．
(2)変量$x$と変量$y$の相関係数$r$を求めよ．
(3)$n$個の変量$x$に，平均値$2n$，分散$4n^2$からなる$n$個のデータを加えた．この$2n$個からなるデータの平均値$m_x^{\prime}$と分散$s_x^{\prime 2}$をそれぞれ求めよ．
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$\mathrm{No.}$ & $1$ & $2$ & $3$ & $\cdots$ & $n$ \\ \hline
$x$ & $1$ & $3$ & $5$ & $\cdots$ & $2n-1$ \\ \hline
$y$ & $2$ & $4$ & $6$ & $\cdots$ & $2n$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)変量$x$の平均値$m_x$と分散$s_x^2$を求めよ．
(2)変量$x$と変量$y$の相関係数$r$を求めよ．
(3)$n$個の変量$x$に，平均値$2n$，分散$4n^2$からなる$n$個のデータを加えた．この$2n$個からなるデータの平均値$m_x^{\prime}$と分散$s_x^{\prime 2}$をそれぞれ求めよ．
公立 北九州市立大学 2016年 第2問座標平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$次関数$f(x)=-x^2+ax$を考える．ただし，$a$は正の定数である．以下の問題に答えよ．
(1)$y_1=-x^2+x$，$y_2=-x^2+2x$とする．$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．また，次の式を満たす$x$の値を求めよ．
\[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2)積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ．また，この値が最小となるときの$a$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする．関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$，$\mathrm{QQ}^\prime$とする．ただし，$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき，$p$の値を求めよ．
(1)$y_1=-x^2+x$，$y_2=-x^2+2x$とする．$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．また，次の式を満たす$x$の値を求めよ．
\[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2)積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ．また，この値が最小となるときの$a$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする．関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$，$\mathrm{QQ}^\prime$とする．ただし，$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき，$p$の値を求めよ．
国立 北海道大学 2015年 第5問$n$は自然数，$a$は$\displaystyle a>\frac{3}{2}$をみたす実数とし，実数$x$の関数
\[ f(x)=\int_0^x (x-\theta)(a \sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta) \, d\theta \]
を考える．ただし，$n=1$のときは$\sin^{n-1}\theta=1$とする．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} \theta \, d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \, d\theta$を示せ．
(2)$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)=0$をみたす$n$と$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$n$と$a$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^x (x-\theta)(a \sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta) \, d\theta \]
を考える．ただし，$n=1$のときは$\sin^{n-1}\theta=1$とする．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} \theta \, d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \, d\theta$を示せ．
(2)$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)=0$をみたす$n$と$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$n$と$a$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
国立 神戸大学 2015年 第3問$a$を正の実数とする．座標平面上の曲線$C$を
\[ y=x^4-2(a+1)x^3+3ax^2 \]
で定める．曲線$C$が$2$つの変曲点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，それらの$x$座標の差が$\sqrt{2}$であるとする．以下の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の中点と$x$座標が一致するような，$C$上の点を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線が$\mathrm{P}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{P}^\prime$とし，点$\mathrm{Q}$における接線が$\mathrm{Q}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{Q}^\prime$とする．線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$の中点の$x$座標を求めよ．
\[ y=x^4-2(a+1)x^3+3ax^2 \]
で定める．曲線$C$が$2$つの変曲点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，それらの$x$座標の差が$\sqrt{2}$であるとする．以下の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の中点と$x$座標が一致するような，$C$上の点を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線が$\mathrm{P}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{P}^\prime$とし，点$\mathrm{Q}$における接線が$\mathrm{Q}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{Q}^\prime$とする．線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$の中点の$x$座標を求めよ．
国立 東京工業大学 2015年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x$とする．頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}^\prime$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す．このとき，$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ．また，$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す．このとき，$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ．また，$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ．