「導関数」について
タグ「導関数」の検索結果
(5ページ目:全552問中41問~50問を表示)![福井大学](./img/univ/fukui.png)
原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に,$\mathrm{F}(5,\ 0)$と$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 0)$とを焦点とし,直線$\ell:y=kx$と直線$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある.$C$上に点$\mathrm{P}$をとるとき,以下の問いに答えよ.ただし,$k$は正の定数とする.
(1)双曲線$C$の方程式を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする.$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき,$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ.
(3)$k=2$のとき,$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.ただし,$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする.
(1)双曲線$C$の方程式を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする.$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき,$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ.
(3)$k=2$のとき,$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.ただし,$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に,$\mathrm{F}(5,\ 0)$を焦点の$1$つとし,直線$\ell:y=kx$と$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線にもつ双曲線$C$がある.ただし,$k>0$とする.$C$上の点$\mathrm{Q}(a,\ b)$を通り,$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち,傾きが正のものを$m$,傾きが負のものを$m^\prime$とする.$\ell$と$m^\prime$との交点を$\mathrm{P}$,$\ell^\prime$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし,四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の座標を,$a,\ b,\ k$を用いて表せ.
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ.
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき,$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ.
(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の座標を,$a,\ b,\ k$を用いて表せ.
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ.
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき,$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ.
![同志社大学](./img/univ/doshisha.png)
次の問いに答えよ.
(1)関数$f(u)=\log (\sqrt{u}-1)-\log (\sqrt{u}+1)$の導関数$f^\prime(u)$を求めよ.
(2)関数$F(x)=\log (\sqrt{e^{2x}+1}-1)-\log (\sqrt{e^{2x}+1}+1)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ.
(3)等式$\displaystyle \sqrt{e^{2x}+1}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}+\frac{1}{\sqrt{e^{2x}+1}}$を用いて,不定積分$\displaystyle \int \sqrt{e^{2x}+1} \, dx$を求めよ.
(4)曲線$\displaystyle y=e^x \left( \frac{1}{2} \log 8 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \log 24 \right)$の長さを求めよ.
(1)関数$f(u)=\log (\sqrt{u}-1)-\log (\sqrt{u}+1)$の導関数$f^\prime(u)$を求めよ.
(2)関数$F(x)=\log (\sqrt{e^{2x}+1}-1)-\log (\sqrt{e^{2x}+1}+1)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ.
(3)等式$\displaystyle \sqrt{e^{2x}+1}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}+\frac{1}{\sqrt{e^{2x}+1}}$を用いて,不定積分$\displaystyle \int \sqrt{e^{2x}+1} \, dx$を求めよ.
(4)曲線$\displaystyle y=e^x \left( \frac{1}{2} \log 8 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \log 24 \right)$の長さを求めよ.
![日本医科大学](./img/univ/nihonika.png)
次の関数$f(x)$(ただし$x>0$)に関する以下の各問いに答えよ.
\[ f(x)=\int_1^x t(x-t+1)e^{-{(x-t+1)}^2} \, dt \]
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}(e^{-1}-e^{-x^2})$とするとき,$f(x)$と$g(x)$の$x>0$における大小関係を調べよ.
(3)$(2)$の$g(x)$に対して,傾きが$f^\prime(x)-g^\prime(x)$の$x=\sqrt{2}$における値に等しく,点$(1,\ 0)$を通る直線を考えることにより,不等式
\[ 0.115<f(\sqrt{2})<0.165 \]
が成り立つことを示せ.ただし,$0.367<e^{-1}<0.368$,$0.135<e^{-2}<0.136$であることは用いてよい.
\[ f(x)=\int_1^x t(x-t+1)e^{-{(x-t+1)}^2} \, dt \]
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}(e^{-1}-e^{-x^2})$とするとき,$f(x)$と$g(x)$の$x>0$における大小関係を調べよ.
(3)$(2)$の$g(x)$に対して,傾きが$f^\prime(x)-g^\prime(x)$の$x=\sqrt{2}$における値に等しく,点$(1,\ 0)$を通る直線を考えることにより,不等式
\[ 0.115<f(\sqrt{2})<0.165 \]
が成り立つことを示せ.ただし,$0.367<e^{-1}<0.368$,$0.135<e^{-2}<0.136$であることは用いてよい.
![南山大学](./img/univ/nanzan.png)
関数$f(x)=xe^x$と曲線$C:y=f(x)$を考える.
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)$C$上の点$(t,\ te^t)$における$C$の接線の方程式を求めよ.
(3)$C$の接線で点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものを求めよ.
(4)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ.
(5)$(3)$で求めた接線のうち,接点の$x$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きいものを$\ell$とするとき,$C$と$\ell$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)$C$上の点$(t,\ te^t)$における$C$の接線の方程式を求めよ.
(3)$C$の接線で点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものを求めよ.
(4)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ.
(5)$(3)$で求めた接線のうち,接点の$x$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きいものを$\ell$とするとき,$C$と$\ell$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
$f(x)$は$2$次関数であり,$f(0)=f(1)=0$を満たすとする.
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(0)$とする.このとき,$f(x)$は$a$を用いて$f(x)=[キ]$と表される.
(2)定積分
\[ \int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx \]
の値が最も小さくなるのは$f(x)=[ク]$のときである.また,そのときの定積分の値は$[ケ]$である.
以下では,$f(x)=[ク]$,$m=[ケ]$とする.
(3)関数$h(x)$は$h(0)=h(1)=0$を満たし,その導関数$h^\prime(x)$は連続であるとする.さらに,$I$と$J$を
$\displaystyle I=\int_0^1 \{(f^\prime(x)+h^\prime(x)-x)^2-(f(x)+h(x))\} \, dx$
$\displaystyle J=\int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx+\int_0^1 (h^\prime(x))^2 \, dx$
で定める.このとき,等式
\[ I=J \]
を証明しなさい.
(4)関数$g(x)$は$g(0)=g(1)=0$を満たし,その導関数$g^\prime(x)$は連続であるとする.このとき,不等式
\[ \int_0^1 \{(g^\prime(x)-x)^2-g(x)\} \, dx \geqq m \]
を証明しなさい.
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(0)$とする.このとき,$f(x)$は$a$を用いて$f(x)=[キ]$と表される.
(2)定積分
\[ \int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx \]
の値が最も小さくなるのは$f(x)=[ク]$のときである.また,そのときの定積分の値は$[ケ]$である.
以下では,$f(x)=[ク]$,$m=[ケ]$とする.
(3)関数$h(x)$は$h(0)=h(1)=0$を満たし,その導関数$h^\prime(x)$は連続であるとする.さらに,$I$と$J$を
$\displaystyle I=\int_0^1 \{(f^\prime(x)+h^\prime(x)-x)^2-(f(x)+h(x))\} \, dx$
$\displaystyle J=\int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx+\int_0^1 (h^\prime(x))^2 \, dx$
で定める.このとき,等式
\[ I=J \]
を証明しなさい.
(4)関数$g(x)$は$g(0)=g(1)=0$を満たし,その導関数$g^\prime(x)$は連続であるとする.このとき,不等式
\[ \int_0^1 \{(g^\prime(x)-x)^2-g(x)\} \, dx \geqq m \]
を証明しなさい.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
$a$を正の実数,$b,\ c$を実数とする.$f(x)=ax^2+bx+c$とし,$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする.
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である.
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき,その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である.このとき,直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し,その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である.
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である.この条件が成り立つとき,その接点を$\mathrm{Q}$とする.
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち,さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは,
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである.このとき,円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち,放物線$y=f(x)$,直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である.
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である.
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき,その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である.このとき,直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し,その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である.
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である.この条件が成り立つとき,その接点を$\mathrm{Q}$とする.
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち,さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは,
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである.このとき,円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち,放物線$y=f(x)$,直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
座標平面上の動点$\mathrm{P}_t(x,\ y)$の座標が,$t$の関数
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている.また$\mathrm{O}$を原点とする.実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して,線分$\mathrm{OP}_a$と,動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と,線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく.次の問に答えよ.
(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする.導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ.
(2)自然数$n$に対して,$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく.$U(n)$を求めよ.
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ.
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている.また$\mathrm{O}$を原点とする.実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して,線分$\mathrm{OP}_a$と,動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と,線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく.次の問に答えよ.
(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする.導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ.
(2)自然数$n$に対して,$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく.$U(n)$を求めよ.
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{P}(p,\ q,\ r)$を通る直線を$\ell$とする.ただし$p^2+q^2+r^2=1$とする.直線$\ell$に$4$点
\[ \mathrm{A}(1,\ 1,\ -1),\quad \mathrm{B}(1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{D}(-1,\ -1,\ -1) \]
から,それぞれ垂線$\mathrm{AA}^\prime$,$\mathrm{BB}^\prime$,$\mathrm{CC}^\prime$,$\mathrm{DD}^\prime$を下ろすとき
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2=(p+[ヌ]q+[ネ]r)^2 \]
であり
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2+(\mathrm{OB}^\prime)^2+(\mathrm{OC}^\prime)^2+(\mathrm{OD}^\prime)^2=[ノ] \]
である.
\[ \mathrm{A}(1,\ 1,\ -1),\quad \mathrm{B}(1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{D}(-1,\ -1,\ -1) \]
から,それぞれ垂線$\mathrm{AA}^\prime$,$\mathrm{BB}^\prime$,$\mathrm{CC}^\prime$,$\mathrm{DD}^\prime$を下ろすとき
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2=(p+[ヌ]q+[ネ]r)^2 \]
であり
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2+(\mathrm{OB}^\prime)^2+(\mathrm{OC}^\prime)^2+(\mathrm{OD}^\prime)^2=[ノ] \]
である.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて,正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである.ただし,回転して一致する場合は同じものとみなす.
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする.$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき,$n=[イ]$である.
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると,$A=[ウ]$である.
(4)$k$を実数とし,$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき,$k$の値をすべて求めると,$k=[エ]$である.
(5)$a,\ b$を実数とする.$x$の$2$次式$f(x)$が,$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき,$a+b=[オ]$である.
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=4$のとき,三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において,$\tan \theta=2$が成り立つとき,$\cos \theta=[キ]$である.
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である.
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて,正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである.ただし,回転して一致する場合は同じものとみなす.
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする.$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき,$n=[イ]$である.
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると,$A=[ウ]$である.
(4)$k$を実数とし,$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき,$k$の値をすべて求めると,$k=[エ]$である.
(5)$a,\ b$を実数とする.$x$の$2$次式$f(x)$が,$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき,$a+b=[オ]$である.
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=4$のとき,三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において,$\tan \theta=2$が成り立つとき,$\cos \theta=[キ]$である.
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である.