原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，$\mathrm{F}(5,\ 0)$と$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 0)$とを焦点とし，直線$\ell:y=kx$と直線$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある．$C$上に点$\mathrm{P}$をとるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)双曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする．$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき，$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ．
(3)$k=2$のとき，$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，$\mathrm{F}(5,\ 0)$を焦点の$1$つとし，直線$\ell:y=kx$と$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線にもつ双曲線$C$がある．ただし，$k>0$とする．$C$上の点$\mathrm{Q}(a,\ b)$を通り，$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち，傾きが正のものを$m$，傾きが負のものを$m^\prime$とする．$\ell$と$m^\prime$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell^\prime$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし，四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の座標を，$a,\ b,\ k$を用いて表せ．
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ．
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(u)=\log (\sqrt{u}-1)-\log (\sqrt{u}+1)$の導関数$f^\prime(u)$を求めよ．
(2)関数$F(x)=\log (\sqrt{e^{2x}+1}-1)-\log (\sqrt{e^{2x}+1}+1)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ．
(3)等式$\displaystyle \sqrt{e^{2x}+1}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}+\frac{1}{\sqrt{e^{2x}+1}}$を用いて，不定積分$\displaystyle \int \sqrt{e^{2x}+1} \, dx$を求めよ．
(4)曲線$\displaystyle y=e^x \left( \frac{1}{2} \log 8 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \log 24 \right)$の長さを求めよ．

次の関数$f(x)$（ただし$x>0$）に関する以下の各問いに答えよ．
\[ f(x)=\int_1^x t(x-t+1)e^{-{(x-t+1)}^2} \, dt \]

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}(e^{-1}-e^{-x^2})$とするとき，$f(x)$と$g(x)$の$x>0$における大小関係を調べよ．
(3)$(2)$の$g(x)$に対して，傾きが$f^\prime(x)-g^\prime(x)$の$x=\sqrt{2}$における値に等しく，点$(1,\ 0)$を通る直線を考えることにより，不等式
\[ 0.115<f(\sqrt{2})<0.165 \]
が成り立つことを示せ．ただし，$0.367<e^{-1}<0.368$，$0.135<e^{-2}<0.136$であることは用いてよい．

関数$f(x)=xe^x$と曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$C$上の点$(t,\ te^t)$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(3)$C$の接線で点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものを求めよ．

(4)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(5)$(3)$で求めた接線のうち，接点の$x$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きいものを$\ell$とするとき，$C$と$\ell$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$f(x)$は$2$次関数であり，$f(0)=f(1)=0$を満たすとする．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(0)$とする．このとき，$f(x)$は$a$を用いて$f(x)=[キ]$と表される．
(2)定積分
\[ \int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx \]
の値が最も小さくなるのは$f(x)=[ク]$のときである．また，そのときの定積分の値は$[ケ]$である．
以下では，$f(x)=[ク]$，$m=[ケ]$とする．
(3)関数$h(x)$は$h(0)=h(1)=0$を満たし，その導関数$h^\prime(x)$は連続であるとする．さらに，$I$と$J$を


$\displaystyle I=\int_0^1 \{(f^\prime(x)+h^\prime(x)-x)^2-(f(x)+h(x))\} \, dx$

$\displaystyle J=\int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx+\int_0^1 (h^\prime(x))^2 \, dx$


で定める．このとき，等式
\[ I=J \]
を証明しなさい．
(4)関数$g(x)$は$g(0)=g(1)=0$を満たし，その導関数$g^\prime(x)$は連続であるとする．このとき，不等式
\[ \int_0^1 \{(g^\prime(x)-x)^2-g(x)\} \, dx \geqq m \]
を証明しなさい．

$a$を正の実数，$b,\ c$を実数とする．$f(x)=ax^2+bx+c$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である．
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき，その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である．このとき，直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である．
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである．このとき，円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち，放物線$y=f(x)$，直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である．

座標平面上の動点$\mathrm{P}_t(x,\ y)$の座標が，$t$の関数
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている．また$\mathrm{O}$を原点とする．実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して，線分$\mathrm{OP}_a$と，動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と，線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく．次の問に答えよ．

(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする．導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく．$U(n)$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ．

$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(p,\ q,\ r)$を通る直線を$\ell$とする．ただし$p^2+q^2+r^2=1$とする．直線$\ell$に$4$点
\[ \mathrm{A}(1,\ 1,\ -1),\quad \mathrm{B}(1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{D}(-1,\ -1,\ -1) \]
から，それぞれ垂線$\mathrm{AA}^\prime$，$\mathrm{BB}^\prime$，$\mathrm{CC}^\prime$，$\mathrm{DD}^\prime$を下ろすとき
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2=(p+[ヌ]q+[ネ]r)^2 \]
であり
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2+(\mathrm{OB}^\prime)^2+(\mathrm{OC}^\prime)^2+(\mathrm{OD}^\prime)^2=[ノ] \]
である．

次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて，正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである．ただし，回転して一致する場合は同じものとみなす．
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする．$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき，$n=[イ]$である．
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると，$A=[ウ]$である．
(4)$k$を実数とし，$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき，$k$の値をすべて求めると，$k=[エ]$である．
(5)$a,\ b$を実数とする．$x$の$2$次式$f(x)$が，$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき，$a+b=[オ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において，$\tan \theta=2$が成り立つとき，$\cos \theta=[キ]$である．
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．