「導関数」について
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(3ページ目:全552問中21問~30問を表示)![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える.$p$を正の数とする.以下の問いに答えよ.
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ.また,すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ.
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする.$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ.さらに,区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ,不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ.
(3)$x \geqq 0$の範囲で,曲線$C$と接線$\ell$,および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする.その面積$S(p)$を求めよ.
(4)$2$辺が$x$軸,$y$軸に平行な長方形$R$を考える.$R$が図形$F$を囲んでいるとき,$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ.さらに,$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ.
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ.また,すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ.
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする.$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ.さらに,区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ,不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ.
(3)$x \geqq 0$の範囲で,曲線$C$と接線$\ell$,および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする.その面積$S(p)$を求めよ.
(4)$2$辺が$x$軸,$y$軸に平行な長方形$R$を考える.$R$が図形$F$を囲んでいるとき,$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ.さらに,$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ.
![秋田大学](./img/univ/akita.png)
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり,$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする.$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$,$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり,$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする.直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$,直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする.$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
![秋田大学](./img/univ/akita.png)
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり,$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする.$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$,$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり,$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする.直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$,直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする.$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
![秋田大学](./img/univ/akita.png)
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり,$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする.$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$,$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり,$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする.直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$,直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする.$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
![山梨大学](./img/univ/yamanashi.png)
関数$f(x)=x \sqrt{4-x^2}$に対し,曲線$y=f(x)$を$C$とする.
(1)$f(x)$の増減を調べよ.ただし,$f(x)$の第$2$次導関数を調べる必要はない.
(2)$C$上の点$(1,\ \sqrt{3})$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3)$C$の$0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$の部分,直線$x=\sqrt{2}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(4)$C$と$x$軸の$x \geqq 0$の部分で囲まれた図形を$D$とする.$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ.
(1)$f(x)$の増減を調べよ.ただし,$f(x)$の第$2$次導関数を調べる必要はない.
(2)$C$上の点$(1,\ \sqrt{3})$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3)$C$の$0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$の部分,直線$x=\sqrt{2}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(4)$C$と$x$軸の$x \geqq 0$の部分で囲まれた図形を$D$とする.$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ.
![長岡技術科学大学](./img/univ/nagaoka.png)
関数$f(x),\ g(x)$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(3x)+g(2x)=\sin 6x \quad \cdots\cdots (*) \\
f^\prime(3x)+g^\prime(2x)=\sin 6x \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
f(0)=3
\end{array} \right. \]
を満たしている.下の問いに答えなさい.
(1)等式$(*)$の両辺を$x$で微分しなさい.
(2)$f^\prime(3x)$を求めなさい.
(3)$f(x),\ g(x)$を求めなさい.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(3x)+g(2x)=\sin 6x \quad \cdots\cdots (*) \\
f^\prime(3x)+g^\prime(2x)=\sin 6x \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
f(0)=3
\end{array} \right. \]
を満たしている.下の問いに答えなさい.
(1)等式$(*)$の両辺を$x$で微分しなさい.
(2)$f^\prime(3x)$を求めなさい.
(3)$f(x),\ g(x)$を求めなさい.
![奈良教育大学](./img/univ/narakyouiku.png)
次の関数$F(x)$,$G(x)$,$H(x)$の導関数を求めよ.
(1)$\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{t^2} \, dt$
(2)$\displaystyle G(x)=\int_x^{x^2} e^{t^2} \, dt$
(3)$\displaystyle H(x)=\int_x^{x^2} e^{(t-x)^2} \, dt$
(1)$\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{t^2} \, dt$
(2)$\displaystyle G(x)=\int_x^{x^2} e^{t^2} \, dt$
(3)$\displaystyle H(x)=\int_x^{x^2} e^{(t-x)^2} \, dt$
![山口大学](./img/univ/yamaguchi.png)
$n$を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし,
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする.$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし,
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする.また,$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し,$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく.
(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする.$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい.
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい.
(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし,
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする.$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし,
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする.また,$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し,$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく.
(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする.$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい.
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい.
![浜松医科大学](./img/univ/hamamatsuika.png)
$r$を$1<r<3$を満たす実数,$k$を$|r-2|<k<1$を満たす実数とする.また,次の関数$f(x)$を考える.
\[ f(x)=rx(1-x) \]
以下の問いに答えよ.
(1)$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ.
以下の問題では,$(1)$で求めた$x$のうちで正のものを$x_r$とする.
\mon[$(2)$] 次の条件
$|x-x_r|<a$を満たすすべての$x$について$|f^\prime(x)|<k$
が成り立つような正の実数$a$が存在することを証明せよ.
\mon[$(3)$] $(2)$の$a$に対して,数列$\{x_n\}$を
\[ |x_1-x_r|<a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める.
(i) すべての自然数$n$について$|x_n-x_r|<a$であることを証明せよ.
(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=x_r$を証明せよ.
\[ f(x)=rx(1-x) \]
以下の問いに答えよ.
(1)$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ.
以下の問題では,$(1)$で求めた$x$のうちで正のものを$x_r$とする.
\mon[$(2)$] 次の条件
$|x-x_r|<a$を満たすすべての$x$について$|f^\prime(x)|<k$
が成り立つような正の実数$a$が存在することを証明せよ.
\mon[$(3)$] $(2)$の$a$に対して,数列$\{x_n\}$を
\[ |x_1-x_r|<a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める.
(i) すべての自然数$n$について$|x_n-x_r|<a$であることを証明せよ.
(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=x_r$を証明せよ.
![帯広畜産大学](./img/univ/obihiro.png)
関数$f(x)=x^2-4x+5$を用いて,放物線$C:y=f(x)$が定義されている.放物線$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし,原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}(t,\ 0)$を考える.ただし,$t>0$とする.次の各問に答えなさい.
(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す.
(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい.
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき,$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい.
(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする.
(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい.
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき,直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい.
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき,$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい.
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す.また,直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す.ただし,$0<t \leqq 2$とする.
(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい.また,関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい.
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい.
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい.
(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す.
(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい.
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき,$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい.
(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする.
(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい.
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき,直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい.
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき,$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい.
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す.また,直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す.ただし,$0<t \leqq 2$とする.
(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい.また,関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい.
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい.
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい.