定積分$\displaystyle 3 \int_{\frac{1}{e}}^e \frac{(\log x)^2}{x} \, dx$（$\log x$は自然対数）の値を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1715}{414}=[ア]+\frac{1}{[イ]+\displaystyle\frac{1}{[ウエ]}}$と表すことができる．

(2)$y=x^2+2x+5$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動して得られる$2$次関数のグラフが点$(0,\ 16)$を通り，最小値が$7$となるとき，正の実数$p,\ q$の値は$p=[オ]$，$q=[カ]$である．
(3)不等式$\displaystyle -1<\log_4 x-\log_2 x<\frac{3}{2}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<x<[ケ]$である．
(4)$10$本のくじがあって，そのうち$3$本が当たりくじであるとする．引いたくじを元にもどさないでくじを引くとき，$7$本目までに当たりくじを引く確率は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt[3]{a^4} \times a^4 \times \sqrt[6]{a^2} \div (a \sqrt[3]{a^2})=a^{[ナ][ニ]}$
(2)$\log_3 108-3 \log_9 4+2 \log_9 6=[ヌ][ネ]$
(3)$2$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が素数になる確率は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{12}$である．
(4)等比数列$\{a_n\}$の第$3$項は$12$，第$6$項は$96$である．この数列の初項から第$n$項までの和が$765$になった．このとき$n=[ヒ][フ]$である．
(5)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(4,\ 2)$と$\overrightarrow{b}=(2 \sqrt{3}-1,\ 2+\sqrt{3})$のなす角は$[ヘ][ホ]^\circ$である．

次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき$\displaystyle x^3+x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=[ア]$である．
(2)$6^{50}$は$[イ]$桁の数である．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．$2 \sin^2 x+3 \sin x-2<0$となる$x$の範囲を求めると$[ウ]$となる．

実数$a,\ b$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2^{2a}+5^{2b}=41 \\
2^{a-2} \cdot 5^b=5
\end{array} \right. \]
を満たす．このとき，
\[ 2^{2a}+5^{2b}=(2^a+5^b)^2-[ア] \cdot 2^a \cdot 5^b,\quad 2^{a-2} \cdot 5^b=\frac{1}{[イ]} 2^a \cdot 5^b \]
に注意すると，
\[ 2^a+5^b=[ウ],\quad 2^a \cdot 5^b=[エオ] \]
である．解と係数の関係より，$a,\ b$の値は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a=[カ] \\
b=[キ]
\end{array} \right. \quad \text{と} \quad \left\{ \begin{array}{l}
a=\log_2 [ク] \\
b=\log_5 [ケ]
\end{array} \right. \]
である．

曲線$\ell:y=\log x (1 \leqq x \leqq 2)$上の点$(t,\ \log t)$における$\ell$の接線の方程式は
\[ y=\frac{[ハ]}{t}x+\log t-[ヒ] \]
であり，この接線と直線$x=1$，$x=2$および$\ell$で囲まれた図形の面積$S$は，
\[ S=\frac{[フ]}{2t}+\log t-[ヘ] \log 2 \]
である．$\displaystyle t=\frac{[ホ]}{[マ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle 1+\log \frac{[ミ]}{[ム]}$をとる．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle x<\frac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$をみたす最大の整数$x$は$[アイ]$である．
(2)等式$\displaystyle \frac{x+5}{x^2+x-2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[ウ]$，$b=[エオ]$である．
(3)点$(-4,\ a)$と直線$3x+4y-1=0$との距離が$1$であるとき，$a=[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \left( x-\frac{2}{3} \right)^9$の展開式において，$x^8$の係数は$[ケコ]$であり，$x^7$の係数は$[サシ]$である．
(5)$\overrightarrow{a}=(3,\ t+1,\ 1)$と$\displaystyle \overrightarrow{b}=\left( 2,\ -3,\ \frac{3}{2}t \right)$が垂直であるとき，$t=[ス]$である．
(6)$\displaystyle (5^{\frac{1}{3}}-5^{-\frac{1}{3}})(5^{\frac{2}{3}}+1+5^{-\frac{2}{3}})=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(7)$\log_{10}2=p$とおくと，$\log_{10}5=[チ]-p$であり，$\displaystyle \log_4 500=\frac{[ツ]-p}{[テ]p}$である．
(8)$\displaystyle \int_{-1}^2 (-x^2+3 |x|) \, dx=\frac{[ト]}{[ナ]}$である．

$n$は自然数とする．数列$\{a_n\}$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=3 \\
a_n=\sum_{k=1}^{n-1} a_k \quad (n \geqq 2)
\end{array} \right. \]
と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_5$を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき一般項$a_n$を求めよ．
(3)$a_n$が$10^{10}$を超える最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_2=3$，$\displaystyle a_{n+2}=\frac{(a_{n+1})^3}{(a_n)^2}$を満たしている．$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_{n+2}$を$b_{n+1}$，$b_n$を用いて表すと$b_{n+2}=[　]$となる．また，$b_n=[　]$である．