曲線$C:y=(\log_e x)^2$とする．

(1)点$(0,\ 3)$から$C$に引いた接線の方程式をすべて求めよ．
(2)$C$と$x$軸，および直線$x=e$で囲まれた部分の面積を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 10)$，$\mathrm{B}(7,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くものとする．$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最小となるとき，$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)$n$を$18$以下の自然数とする．くじが$18$本あり，そのうち$2$本が当たりくじである．この$18$本の中から$n$本を同時に引くとき，当たりくじを$1$本以上含む確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きくなる$n$の最小値を求めよ．
(3)$1$分間に$8 \, \%$の割合で個数が増えるバクテリアがある．このバクテリア$10$個が初めて$1000$個以上になるのは何分後か．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，答えは整数で求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} (1 \leqq x \leqq 8)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=e$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)空間上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(-1,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ -1)$とする．この$3$点を通る平面上に$\mathrm{D}(a,\ b,\ -1)$があるとき，$a$と$b$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=a>0,\quad a_{n+1}=16{a_n}^3 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
をみたすものとする．

(i) 数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_2 a_n$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(iii) すべての$n$について$a_n=a$をみたすような$a$の値を求めよ．

(3)複素数平面において，等式$2 |z-4|=3 |z-3i|$をみたす点$z$の全体はどのような図形を表すか．ただし$i$は虚数単位とする．

$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}5$，$\log_{10}6$の値を求めよ．
(2)$3^{100}$の桁数を求めよ．
(3)$3^{100}$の最高位の数字を求めよ．
(4)$(3.75)^n$の整数部分が$10$桁になる自然数$n$を全て求めよ．

$a$を正の実数とし，$p$を正の有理数とする．座標平面上の$2$つの曲線$y=ax^p (x>0)$と$y=\log x (x>0)$を考える．この$2$つの曲線の共有点が$1$点のみであるとし，その共有点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．必要であれば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^p}{\log x}=\infty$を証明なしに用いてよい．

(1)$a$および点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$p$を用いて表せ．
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で得られる立体の体積が$2 \pi$になるときの$p$の値を求めよ．

自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{x}{n(1+x)} \log \left( 1+\frac{x}{n} \right) \quad (x \geqq 0) \]
で定める．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^n f_n(x) \, dx \leqq \int_0^1 \log (1+x) \, dx$を示せ．
(2)数列$\{I_n\}$を
\[ I_n=\int_0^n f_n(x) \, dx \]
で定める．$0 \leqq x \leqq 1$のとき$\log (1+x) \leqq \log 2$であることを用いて数列$\{I_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることは用いてよい．

$n$を正の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$g(x)$を次のように定める．
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{\cos (\pi x)+1}{2} & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
$f(x)$を連続な関数とし，$p,\ q$を実数とする．$\displaystyle |x| \leqq \frac{1}{n}$をみたす$x$に対して$p \leqq f(x) \leqq q$が成り立つとき，次の不等式を示せ．
\[ p \leqq n \int_{-1}^1 g(nx)f(x) \, dx \leqq q \]
(2)関数$h(x)$を次のように定める．
\[ h(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle -\frac{\pi}{2} \sin (\pi x) & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
このとき，次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} n^2 \int_{-1}^1 h(nx) \log (1+e^{x+1}) \, dx \]

以下の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x(\log x)^2}$は$x>1$において単調に減少することを示せ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x(\log x)^2} \, dx$を求めよ．
(3)$n$を$3$以上の整数とするとき，不等式
\[ \sum_{k=3}^n \frac{1}{k(\log k)^2}<\frac{1}{\log 2} \]
が成り立つことを示せ．

座標平面上の放物線
\[ C_n:y=x^2-p_nx+q_n \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を考える．ただし，$p_n,\ q_n$は
\[ p_1^2-4q_1=4,\quad p_n^2-4q_n>0 \qquad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
を満たす実数とする．$C_n$と$x$軸との二つの交点を結ぶ線分の長さを$\ell_n$とする．また，$C_n$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_n$は
\[ \frac{S_{n+1}}{S_n}=\left( \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}} \right)^3 \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$C_n$の頂点の$y$座標を$\ell_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{\ell_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$p_n=n \sqrt{n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \log \left( -\frac{2q_n}{n^2} \right)$を求めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．