座標平面上の放物線 \[ C_n:y=x^2-p_nx+q_n \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を考える．ただし，$p_n,\ q_n$は \[ p_1^2-4q_1=4,\quad p_n^2-4q_n>0 \qquad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] を満たす実数とする．$C_n$と$x$軸との二つの交点を結ぶ線分の長さを$\ell_n$とする．また，$C_n$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_n$は \[ \frac{S_{n+1}}{S_n}=\left( \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}} \right)^3 \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1) $C_n$の頂点の$y$座標を$\ell_n$を用いて表せ．
(2) 数列$\{\ell_n\}$の一般項を求めよ．
(3) $p_n=n \sqrt{n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \log \left( -\frac{2q_n}{n^2} \right)$を求めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．