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岡山大学 国立 岡山大学 2016年 第2問
座標空間内に,原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある.$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し,直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする.さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ.
(2)$s,\ t$をそれぞれ$u,\ v$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が$xy$平面内の直線$ax+by=1 (a^2+b^2 \neq 0)$上を動くとき,対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ.
岡山大学 国立 岡山大学 2016年 第4問
座標空間内に,原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある.$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し,直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする.さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ.
(2)$s$を$u,\ v$を用いて表せ.
(3)$\ell$は$xy$平面内の直線で,原点$\mathrm{O}$を通らないものとする.直線$\ell$上を点$\mathrm{P}$が動くとき,対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ.
茨城大学 国立 茨城大学 2016年 第3問
複素数平面上で,複素数$z$に対応する点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(z)$と表す.$3$点$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{A}(1)$,$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある.ただし,複素数$\beta$の偏角$\theta$は,$0<\theta<\pi$を満たすとする.また,$s$と$t$は$4s-t^2>0$を満たす実数とする.等式
\[ \beta^2-t \beta+s=0 \]
が成り立つとき,以下の各問に答えよ.

(1)複素数$\beta$の実部と虚部をそれぞれ$s$と$t$を用いて表せ.
(2)複素数$\beta$の絶対値と,偏角$\theta$に対する$\sin \theta$を,それぞれ$s$と$t$を用いて表せ.
(3)三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形になるために$s$と$t$が満たすべき条件を求めよ.
(4)三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$である二等辺三角形とする.このとき,三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{4}$となる$s$と$t$の値の組をすべて求めよ.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2016年 第5問
次の問いに答えよ.

\mon[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする.${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$,${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき,
\[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots ① \]
を以下の指示に従って,$2$通りの方法で証明せよ.

\mon[$(1)$] すべての実数$t$に対して,
\[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \]
が成り立つことを利用して$①$を証明せよ.また等号が成り立つときの条件を示せ.
\mon[$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \]
を考える.$①$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ.その上で,$①$を証明せよ.また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ.

\mon[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) (i=1,\ 2,\ 3)$を考える.変量$x$の平均を$\overline{x}$とし,$x$の偏差を$X$とする.すなわち,$X_i=x_i-\overline{x} (i=1,\ 2,\ 3)$であり,変量$y$についても同様とする.また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え,これを$r$とする.このとき,上記$①$を用いて,
\[ -1 \leqq r \leqq 1 \]
となることを示せ.
青山学院大学 私立 青山学院大学 2016年 第1問
小数第$1$位までで表される正数$X,\ Y$に対して,$m,\ n$を
\[ X-0.4 \leqq m \leqq X+0.5,\quad Y-0.4 \leqq n \leqq Y+0.5 \quad \cdots \quad ① \]
を満たす$0$以上の整数とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)$X=2.6$のとき$m=[$1$]$であり,$Y=4.3$のとき$n=[$2$]$である.
(2)関係式$①$を満たす$X,\ Y,\ m,\ n$に対して,さらに関係式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
5X-4Y=22.2 & \cdots & ② \\
2m+3n=26 & \cdots & ③
\end{array} \right. \]
が成立するという.$X,\ Y,\ m,\ n$を求めよう.
関係式$③$を満たす$0$以上の整数$m,\ n$のうちで,対応する$X,\ Y$が関係式$②$を満たすのは$m=[$3$]$,$n=[$4$]$である.このとき,
\[ X=[$3$]+\frac{x}{10},\quad Y=[$4$]+\frac{y}{10} \]
とすると,$5x-4y=[$5$][$6$]$が成り立つ.
以上のことから,$x=[$7$]$,$y=[$8$][$9$]$となる.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第5問
$xy$平面上の放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq 1$に対応する部分の長さを$L$とする.$L$の値を次のようにして求めよう.$L$は定積分
\[ L=\int_0^1 \sqrt{1+[ア]x^2} \, dx \]
で定まる.この定積分を計算するために$\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{4}$として,置換積分を行う.このとき
\[ \frac{dx}{dt}=\frac{e^t+e^{-t}}{4} \]
であり
\[ \sqrt{1+[ア]x^2}=\frac{e^t+e^{-t}}{[イ]} \]
である.

また,$\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{4}=1$となる$t$の値を$\alpha$とすると,$x$が$0 \to 1$と変化するとき,$t$は$[ウ] \to \alpha$と変化するので,$L$を定める定積分は
\[ L=\frac{1}{[エ]} \int_{\mkakko{ウ}}^\alpha (e^t+e^{-t})^{\mkakko{オ}} \, dt \]
となる.ここで$X=e^\alpha$とおくと,$X$は$2$次方程式
\[ X^2-[カ]X-[キ]=0 \]
の解である.$X>0$なので
\[ X=[ク]+\sqrt{[ケ]} \]
である.これを用いて$\alpha$の値を定め,$L$の値を計算すると
\[ L=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \log \left( [ス]+\sqrt{[セ]} \right) \]
である.
福島大学 国立 福島大学 2015年 第3問
次の問いに答えなさい.

(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$を求めなさい.
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2-2x-3}$を求めなさい.

(3)曲線$y=\sqrt{x^2-1}$の$1 \leqq x \leqq 2$の部分を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めなさい.
(4)曲線$y=xe^x+1$の$x=1$に対応する点における接線と法線の方程式を求めなさい.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2015年 第2問
図$1$が示すように,平面上に互いに異なる$5$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$がある.ただし,$\mathrm{O}$は原点であり,他の$4$点の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$,$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする.媒介変数$t (0 \leqq t \leqq 1)$を用いて,線分$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CD}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$とする.同様に,線分$\mathrm{EF}$,$\mathrm{FG}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{H}$,$\mathrm{I}$とする.さらに,線分$\mathrm{HI}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{J}$とし,$t$が$0$から$1$まで変化するときの点$\mathrm{J}$の軌跡を曲線$K$とする(図$1$参照).以下の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を表せ.
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を表せ.
(3)特殊な条件として,一辺が$r$の正方形上に図$2$に示すように点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$を配置する.さらに,中心が$\mathrm{O}$で端点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$とする円弧を$L$とする.線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$の長さはともに半径$r$の$s$倍($0 \leqq s \leqq 1$)である.このとき,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{d}$および$s$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を表せ.
(4)$(3)$において,$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{J}$に対応する点を特に点$\mathrm{M}$とするとき,点$\mathrm{M}$が円弧$L$上にあるための条件を$s$の値で示せ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第3問
$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極小,$x=a>0$で極大になるとする.また$x=b (\neq a)$で$f(a)=f(b)$が成り立つとする.$x=b$における$y=f(x)$の接線が$y$軸と交わる点を$(0,\ c)$とおく.もし$3$点$(a,\ f(a))$,$(b,\ f(b))$,$(0,\ c)$を$3$頂点とする三角形が二等辺三角形になるならば,接線の傾きは
\[ -2 \sqrt{[$27$][$28$]} \quad\text{または}\quad -\sqrt{[$29$][$30$]} \]
であり,それぞれに対応して,$c$の値は
\[ c-f(a)=-\sqrt{[$31$][$32$]}a \quad\text{または}\quad -\frac{\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}a \]
をみたす.
大阪市立大学 公立 大阪市立大学 2015年 第3問
$m>0$とする.座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して,$\mathrm{P}$を通る傾き$m$の直線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とし,点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=m \overrightarrow{\mathrm{RP}}$となるように定める.次の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{P}$の座標を$(a,\ b)$とするとき,$\mathrm{Q}$の座標を$m,\ a,\ b$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2-x$上を動くとき,対応する点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする.$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき,$f(x)$を求めよ.
(3)$(2)$の$f(x)$に対し,$\displaystyle I(m)=\int_0^m f(x) \, dx$とする.$m$を$m>0$の範囲で変化させるとき,$I(m)$を最小にする$m$の値を求めよ.
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