$a,\ b$は$1$でない正の実数とする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(\log_a b)x+2 \log_b a=0 \]
が相異なる$2$つの正の実数解を持つような点$(a,\ b)$の動く領域を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とする．実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．方程式
\[ \left[ \frac{1}{2}x \right]=x-a \]
が$0 \leqq x<4$の範囲に異なる$2$つの実数解をもつような$a$の範囲は$[ア] \leqq a<[イ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4-\sqrt{11}}$を小数で表すとき，小数第$1$位の数字は$[ウ]$である．
(3)${(x^2+\sqrt{2}y)}^6$の展開式における$x^8y^2$の係数は$[エ]$である．
(4)$k$を実数とする．$2$つの$2$次方程式
\[ x^2-(k-1)x+k+2=0,\quad x^2-(k+1)x+k^2-5=0 \]
が，どちらも$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ \frac{[オ]}{[カ]}<k<[キ] \]
であり，少なくともどちらか一方が$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ k<[ク] \quad \text{または} \quad [ケ]<k \]
である．

次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

$f(x)$はすべての係数が整数であるような$3$次多項式で，$x^3$の係数が$1$であり，
\[ \frac{-\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[3]{2} \sqrt{3}i}{2} \]
は方程式$f(x)=0$の解の$1$つであるとする．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，
\[ f(x)=x^3+[チ]x^2+[ツ]x-[テ] \]
であり，$f(x)=0$の実数解は${[ト]}^{\frac{1}{3}}-[ナ]$である．

$k$を定数として，$3$次方程式
\[ x^3-\frac{3}{2}x^2-6x-k=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．

(1)この方程式が，異なる$3$つの実数解をもつような$k$の値の範囲は
\[ -[ア][イ]<k< \frac{[ウ]}{[エ]} \cdots\cdots (**) \]
である．
(2)$k$が$(**)$の範囲にあるとき，方程式$(*)$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$（ただし$\alpha<\beta<\gamma$）とおく．

(i) $k$が$(**)$の範囲を動くとき，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の取りうる値の範囲は，それぞれ
\[ -\frac{[オ]}{[カ]}<\alpha<-[キ],\quad -[ク]<\beta<[ケ],\quad [コ]<\gamma<\frac{[サ]}{[シ]} \]
である．
(ii) $k$が$(**)$の範囲を動くとき，$\alpha$と$\gamma$の積$\alpha\gamma$が最小となるのは
\[ k=-\frac{[ス][セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
のときであって，$\alpha\gamma$の最小値は$\displaystyle -\frac{[ツ][テ][ト]}{[ナ][ニ]}$である．

$a$を実数とし，関数$f(x)$を$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12ax$で定める．

(1)$f(x)$が極値をもつとき，その値は$[タ]$である．
(2)$y=f(x)$のグラフが$a$の値に関係なく通る点で，原点$\mathrm{O}$でないものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$[チ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を$(2)$で定めた点とする．線分$\mathrm{OA}$と$y=f(x)$のグラフが$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外に共有点をもつ$a$の値の範囲は$[ツ]<a<[テ]$である．
(4)$x \geqq 0$を満たすすべての実数$x$について，不等式$f(x) \geqq 0$が成り立つ$a$の値の範囲は$[ト] \leqq a \leqq [ナ]$である．
(5)$a \geqq 3.5$を満たすすべての実数$a$について，方程式$f(x)=k$が$3$つの異なる実数解をもつ実数$k$の値の範囲は$[ニ]<k<[ヌ]$である．

以下の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．

(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$がある．点$\mathrm{P}$が直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$上を動くとき，長さ$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．

(4)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．

(5)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．

(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．

(4)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．

$a>0$に対して$2$次方程式$ax^2+bx+c=0$は$2$つの異なる実数解$\alpha,\ \beta$（ただし$\alpha>\beta$）を持つという．このとき次の$5$つの式を係数$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．

(1)$\alpha+\beta$
(2)$\alpha \beta$
(3)$\alpha^2+\beta^2$
(4)$\alpha^2-\beta^2$
(5)$\alpha^3+\beta^3$

$a$を正の実数とする．$x$の方程式$\{ \log (x^2+a) \}^2+\log a=1$の異なる実数解の個数を，$a$の値によって場合分けして求めよ．ただし，対数は自然対数であるとする．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$（$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする）に対して，$2$次方程式$x^2-(a+d)x+ad-bc=0$は相異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．いま，
\[ P=\frac{1}{\alpha-\beta}(A-\beta E),\quad Q=\frac{1}{\beta-\alpha}(A-\alpha E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)$PQ=QP=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は$2$次の零行列である．
(2)$P+Q=E,\ P^2=P$および$Q^2=Q$が成り立つことを示せ．
(3)$A=\alpha P+\beta Q$が成り立つことを示せ．
(4)$A^n=\alpha^n P+\beta^n Q (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．