関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$（ただし$x \neq 0$）において

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=[ア]$である．
(2)$f^\prime(x)=[イ]$である．
(3)$f(0)=[ア]$と定義したとき，$f(x)$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$x=[エ]$のとき$[オ]$である．

数列$\{a_n\}$を$a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$により定義すると，$a_n$は整数である．次の問いに答えよ．

(1)この数列の連続する$3$項の和は常に偶数であることを示せ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n (-1)^j a_j=-a_1+a_2- \cdots +(-1)^na_n$とおくと，$S_n=(-1)^n a_{n-1} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2=[$1$]$であり，さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=[$2$]$である．
(2)$xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$，$(2,\ 4)$，$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$[$3$]$である．
(3)$n$は自然数とする．$(x+y+1)^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$[$4$]$である．
(4)$-1<x$において，関数$f(x)$は
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \]
で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$[$5$]$である．
(5)$i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して，$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$[$6$]$である．
(6)$0<x \leqq \pi$とする．方程式
\[ \sin 3x+\sin x=\cos x \]
の解$x$をすべて求めると$[$7$]$である．

関数$f(x) = \sin 2x+3 \sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(2)$a$を定数として，$g(x) = f(x)-ax$と定義するとき，$g(x)$が極値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

$a,\ b$は$a < b$をみたす実数とする．$f(x),\ g(x)$は閉区間$[ \; a,\ b \; ]$で定義された連続関数で，$g(x) \leqq f(x)$をみたすとする．座標平面上，不等式$a \leqq x \leqq b,\ g(x) \leqq y \leqq f(x)$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をAとする．Aの面積$S$が正のとき，Aの重心の$y$座標は，
\[ \frac{1}{S} \int_a^b \frac{\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2}{2} \, dx \]
で与えられる．この事実を用いて，次の問いに答えよ．

(1)$r$は$0 < r < 1$をみたす実数とする．不等式$r^2 \leqq x^2 + y^2 \leqq 1,\ y \geqq 0$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をBとおく．Bの重心の$y$座標$Y(r)$を$r$を用いて表せ．
(2)$t$は正の実数とする．不等式$-1 \leqq x \leqq 1,\ \sqrt{1-x^2} -t \leqq y \leqq \sqrt{1-x^2}$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をCとおく．Cの重心の$y$座標$Z(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)(1)で得られた$Y(r)$と(2)で得られた$Z(t)$について，$\displaystyle \lim_{r \to 1-0}Y(r)$と$\displaystyle \lim_{t \to +0}Z(t)$の大小を比較せよ．

次の問いに答えよ．

\mon[問1] 2次正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で，$(A-E)(A-4E)=O$を満たすものを考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ正の整数とする．

\mon[(1)] $a+d=5$であることを示せ．
\mon[(2)] このような$A$をすべて求めよ．

\mon[問2]
\[ a_1=1, a_{n+1}=\frac{9}{6-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える．

\mon[(1)] すべての正の整数$n$に対し，$a_n<3$が成り立つことを証明せよ．
\mon[(2)] $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．
\mon[(3)] 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を次のように定義する．
\[ f_n(x)=(\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx)\sin \frac{x}{2} \]
次の問いに答えよ．

(1)方程式$f_2(x)=0$の実数解$x$で，$0<x<\pi$を満たすものを求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi f_{50}(x) \, dx$を求めよ．

関数$y=f(x)$は$0$以上の実数$x$に対して定義され，正の値をとる関数である．図はこの関数のグラフの一部を表している．$0 \leqq t<u$を満たす$2$つの実数$t$と$u$に対して，$x$軸，$2$つの直線$x=t$，$x=u$とこのグラフとで囲まれた領域（網掛け部分）の面積を$S(t,\ u)$と書くことにする．また，面積が$S(t,\ u)$と等しい長方形$\mathrm{ATUB}$を図のようにとり，その高さ$\mathrm{AT}$を$g(t,\ u)$で表すとき，$g(t,\ u)$は$t,\ u$の式として次のようになった．
\[ g(t,\ u)=t^2+tu+u^2+t+u+5 \]
以下の問に答えなさい．

(1)$S(1,\ 3)$を求めなさい．
(2)$S_0(x)=S(0,\ x)$とおく．このとき，$g(t,\ u)$を関数$S_0(x)$を用いて表しなさい．
(3)正の実数$x$に対して，$f(x)$を求めなさい．
（図は省略）