$x \geqq 1$で定義された関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{x^2} \]
について，以下の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 1$における$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の値を$a$とする．曲線$y=f(x)$と$2$直線$y=0$，$x=a$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$x \geqq 1$で定義された関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{x^2} \]
について，以下の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 1$における$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の値を$a$とする．曲線$y=f(x)$と$2$直線$y=0$，$x=a$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の式で定義される数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+4n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の項を求めよ．

\mon[$①$] 第$2$項から第$5$項まで
\mon[$②$] 一般項$a_n$

(2)次の値を求めよ．

\mon[$①$] ${(1+x)}^{10}$の展開式における$x^7$の項の係数
\mon[$②$] ${16}^{16}$を$225$で割ったときの余り

次の問いに答えよ．

(1)次の式で定義される数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+4n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の項を求めよ．

\mon[$①$] 第$2$項から第$5$項まで
\mon[$②$] 一般項$a_n$

(2)次の値を求めよ．

\mon[$①$] ${(1+x)}^{10}$の展開式における$x^7$の項の係数
\mon[$②$] ${16}^{16}$を$225$で割ったときの余り

次の各問に答えよ．

(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する．
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$2$つの数列$\{\theta_n\},\ \{a_n\}$を漸化式

$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$

$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

によって定義するとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ．また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)$2 \cos \theta_n=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)整式$P(x)$は，$\displaystyle P \left( \frac{5}{3} \right)=\frac{8}{3}$と$\displaystyle P \left( -\frac{7}{2} \right)=-\frac{5}{2}$を満たす．$P(x)$を$6x^2+11x-35$で割った余りを求めよ．
(2)座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ s,\ t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，原点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AG}$，$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AB}$となるときの$s$と$t$の値を求めよ．
(3)変量$x$の値が$x_1,\ x_2,\ x_3$のとき，その平均値を$\overline{x}$とする．分散$s^2$を
\[ \frac{1}{3}\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2 \} \]
で定義するとき，$s^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2$となることを示せ．ただし$\overline{x^2}$は${x_1}^2,\ {x_2}^2,\ {x_3}^2$の平均値を表す．

関数$f(x)=x^2-4x+5$を用いて，放物線$C:y=f(x)$が定義されている．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}(t,\ 0)$を考える．ただし，$t>0$とする．次の各問に答えなさい．

(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す．

(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい．
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき，$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする．

(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき，$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい．

(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す．また，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す．ただし，$0<t \leqq 2$とする．

(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい．また，関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい．
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい．
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい．

関数$f(x),\ g(x)$に対して，$\displaystyle h(x)=\int_0^x f(x-t)g(t) \, dt$で定義される関数$h(x)$を$(f * g)(x)$と書くことにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(f * g)(x)=(g * f)(x)$が成り立つことを示せ．
(2)$g(x)=e^{-x}$とし，関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots$を
\[ f_1(x)=1-e^{-x},\quad f_n(x)=(f_{n-1} * g)(x) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定義する．

(i) 整数$n$が$2$以上のとき，${f_n}^\prime(x)$を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(ii) $h_n(x)=e^x {f_n}^\prime(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおくとき，$3$以上の整数$n$に対して，${h_n}^\prime(x)$を$h_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(iii) $h_n(x)$を求めよ．

$a$を正の実数とし，数列$\{a_n\}$を次で定義する．
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=1+\frac{2}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$をそれぞれ分子と分母が$a$の整式となっている分数式で表せ．
(2)数列$\{b_n\}$を$b_n=(-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n$により定めるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$b_{n+1}$と$b_n$を用いて$b_{n+2}$を表せ．
(4)数列$\{c_n\}$を$c_n=b_{n+1}-b_n$により定めるとき，$n$と$a$を用いて$c_n$を表せ．
(5)$a=1$のとき，$b_n$を$n$を用いて表せ．また，$a_n$を$n$を用いて表せ．