関数$F(x)$と連続関数$f(t)$の関係が
\[ F(x)=\int_{-x}^x f(t) \, dt \]
で与えられるとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(t)=e^t-e^{-t}$のとき，$F(x)$を求めよ．
(2)$2$つの連続関数$g(t)$，$h(t)$において，$g(-t)=g(t)$，$h(-t)=-h(t)$が常に成り立つとする．$f(t)=g(t)+h(t)$とするとき，$F^{\prime}(x)$を求めよ．
(3)$f(t)=t^2-1+(e^t-e^{-t}) \cos t$のとき，$x>0$における$F(x)$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=x^3-2kx^2+(k+3)x+5$が極値をもたないように，定数$k$の値の範囲を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos 3x \cos x| \, dx$を求めよ．
(3)複素数$z$が$|z-2i|=2$を満たすとき，$|z-2 \sqrt{3|}$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$z$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

すべての実数$x$に対して微分可能な関数$f(x)$が等式
\[ e^{-x}f(x)+\int_0^x e^{-t} f(t) \, dt=1+e^{-2x}(3 \sin x-\cos x) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$e^{-x} \sin x$の導関数を求めよ．さらに，$f(x)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．

(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．

関数$f(x),\ g(x)$に対して，$\displaystyle h(x)=\int_0^x f(x-t)g(t) \, dt$で定義される関数$h(x)$を$(f * g)(x)$と書くことにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(f * g)(x)=(g * f)(x)$が成り立つことを示せ．
(2)$g(x)=e^{-x}$とし，関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots$を
\[ f_1(x)=1-e^{-x},\quad f_n(x)=(f_{n-1} * g)(x) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定義する．

(i) 整数$n$が$2$以上のとき，${f_n}^\prime(x)$を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(ii) $h_n(x)=e^x {f_n}^\prime(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおくとき，$3$以上の整数$n$に対して，${h_n}^\prime(x)$を$h_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(iii) $h_n(x)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．

(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．

$n$を自然数，$k$を$0$以上の整数とする．また，$f(x)=|x \sin (nx)|$，$\displaystyle x_k=\frac{k \pi}{n}$，$\displaystyle \alpha_k=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする．$T_k$を$n,\ k$を用いて表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ．
(2)$x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で，関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする．$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと，ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される．定数$b$の値を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ．
(3)$x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で，関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする．この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して，$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ．

次の関数$f(x)$（ただし$x>0$）に関する以下の各問いに答えよ．
\[ f(x)=\int_1^x t(x-t+1)e^{-{(x-t+1)}^2} \, dt \]

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}(e^{-1}-e^{-x^2})$とするとき，$f(x)$と$g(x)$の$x>0$における大小関係を調べよ．
(3)$(2)$の$g(x)$に対して，傾きが$f^\prime(x)-g^\prime(x)$の$x=\sqrt{2}$における値に等しく，点$(1,\ 0)$を通る直線を考えることにより，不等式
\[ 0.115<f(\sqrt{2})<0.165 \]
が成り立つことを示せ．ただし，$0.367<e^{-1}<0.368$，$0.135<e^{-2}<0.136$であることは用いてよい．

$2$つの関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)$，$g(x)=e^{-x} \sin x$を考える．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)定積分
\[ S_1=\int_0^{2\pi} |g(x)| \, dx \]
を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．
\[ S_n=\int_{2(n-1) \pi}^{2n \pi} |g(x)| \, dx \]
とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$を求めよ．
(4)無限級数の和
\[ \sum_{n=1}^{\infty} S_n \]
を求めよ．

$a$を$0$でない実数とする．等式
\[ f(x)=\frac{3}{a}x^2-\frac{1}{a}x+\left\{ \int_0^2 f(t) \, dt \right\}^2 \]
を満たす関数$f(x)$を考える．

(1)$a=-1$のとき，この等式を満たす$f(x)$は$2$つある．それらを求めよ．
(2)この等式を満たす$f(x)$がただ$1$つであるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$b$を正の実数とする．定積分$\displaystyle \int_0^b \{f(x)-f(b)\} \, dx$の値が$a$によらないとき，$b$の値を求めよ．
(4)$a$と$b$を，それぞれ$(2)$と$(3)$で求めた値とするとき，定積分$\displaystyle \int_b^2 f(x) \, dx$を求めよ．