放物線$y=x^2-2ax+b$（$a,\ b$は定数）と直線$y=2x+3$が$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，点$\mathrm{P}$がこの放物線の頂点であるとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$で表せ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする．$b$が最小値をとるときの$\triangle \mathrm{QPO}$の面積を求めよ．

$3$次関数$f(x)=-4x^3+15x^2+18x+a$は，$\displaystyle x=\frac{[ケコ]}{[サ]}$で極小値，$x=[シ]$で極大値をとる．

また，方程式$f(x)=0$の異なる$3$つの実数解のうち$2$つが負となるような定数$a$の範囲は，$\displaystyle [ス]<a<\frac{[セソ]}{[タ]}$である．

関数$f(x)=(x^2+2x)^2+2a(x^2+2x)+b$を考える．ただし$a$と$b$は定数であり，$f(x)$の最小値が$-4$，$f(1)=13$をみたすとする．次の問いに答えなさい．

(1)$X=x^2+2x$とおくと$X \geqq \mkakko{$\mathrm{a}$}$である．
(2)$b=\mkakko{$\mathrm{b}$}a+\mkakko{$\mathrm{c}$}$である．
(3)$\displaystyle f(x)=\left( X+\mkakko{$\mathrm{d}$}a \right)^2+\mkakko{$\mathrm{e}$}a^2+\mkakko{$\mathrm{f}$}a+\mkakko{$\mathrm{g}$}$である．
(4)定数$a$と$b$の値を求めなさい．

$a>\mkakko{$\mathrm{h}$}$のとき，$\displaystyle a=\frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}},\ b=\frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$である．

$a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$}$のとき，$a=\mkakko{$\mathrm{o}$}-\sqrt{\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}},\ b=\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}+\mkakko{$\mathrm{t}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{u}$} \mkakko{$\mathrm{v}$}}$である．

ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$と$\mkakko{$\mathrm{m}$}$は正の数である．

以下の問に答えよ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$を原点のまわりに正の向きに$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転した直線の方程式は$y=[チ]x$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 5)$，$\mathrm{B}(3,\ 2)$に対して，直線$y=mx-2m-1$が線分$\mathrm{AB}$（両端を含む）と共有点をもつような定数$m$の範囲は，$m \leqq [ツテ]$，$m \geqq [ト]$である．
(3)$2$点$\mathrm{C}(2,\ 1)$，$\mathrm{D}(5,\ 4)$に対して，$\mathrm{CP}:\mathrm{DP}=1:2$となるような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式は，$\displaystyle \left( x-[ナ] \right)^2+\left( y-[ニ] \right)^2=[ヌ]$である．

$a$を定数とし，次の式で与えられる直線$\ell,\ m,\ n$がある．

$\ell:(a+1)x+(a-2)y-5a+4=0$
$m:y=x$

$\displaystyle n:y=\frac{3}{2}x$

(1)$\ell$と$m$が平行のとき$\displaystyle a=\frac{[タ]}{[チ]}$である．

(2)$\ell$と$n$が垂直のとき$a=-[ツ]$である．
(3)$\ell$は$a$の値によらず定点$([テ],\ [ト])$を通る．

$k$は実数の定数とする．$0 \leqq x<2\pi$のとき，$x$の方程式
\[ \cos x-\sin^2 x+1-\frac{k}{4}=0 \]
について，以下の問に答えよ．

(1)方程式が解をもつのは，$k$が$[ソタ] \leqq k \leqq [チ]$のときである．

(2)$k=3$のとき，方程式の解は小さい順に，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]} \pi,\ \frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．

(3)$-1<k<0$のとき，方程式の解の個数は$[ニ]$個である．

$a$を定数として，曲線$y=x^3+x^2+a$に関する次の問いに答えよ．

(1)$x=t$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$の接線が$(1,\ 0)$を通るとき，$a$を$t$の関数として求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，接線が$3$本存在する$a$の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$k$に対して，
\[ \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2} \]
が成り立つように，定数$a,\ b,\ c$の値を決定せよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}$を求めよ．

$a$は$0$でない定数とする．$2$つの円$C_1:x^2+y^2+4x-6y+9=0$，$C_2:x^2+y^2-4ax+2y+1=0$は異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっている．

(1)$a$の値に関係なく，$C_2$が通る定点の座標は$[ア]$である．
(2)$a$の値の範囲は$[イ]$である．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線の傾きが$-3$となるとき，$a=[ウ]$である．
(4)$C_1$の中心を$\mathrm{A}$とおく．$\triangle \mathrm{APQ}$が正三角形となるとき，$a=[エ]$である．

$x$についての$2$次方程式$x^2-2kx+k^2+k-6=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．このとき，

(1)$\alpha,\ \beta$がともに正となるような定数$k$の値の範囲は，$[ア]<k<[イ]$である．
(2)$\alpha$が正，$\beta$が負となるような定数$k$の値の範囲は，$-[ウ]<k<[エ]$である．