$a$を正の定数とし，
\[ x=a \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y=a \sin \theta+\sin 2\theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right) \]
で表される曲線を$C$とする．曲線$C$が点$\mathrm{P}(1,\ 2)$を通るとき，以下の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，
\[ x=a \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y=a \sin \theta+\sin 2\theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right) \]
で表される曲線を$C$とする．曲線$C$が点$\mathrm{P}(1,\ 2)$を通るとき，以下の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=3 |x^2-2x-3|$のグラフをかけ．
(2)$1<t<3$を満たす定数$t$を考える．曲線$y=3 |x^2-2x-3|$の$t \leqq x \leqq t+2$における部分と$x$軸，および$2$直線$x=t$，$x=t+2$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$t$が$1<t<3$の範囲を動くときの$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$a$を定数とする．$2$曲線

$\displaystyle C_1:y=-\frac{3}{2} \cos 2x \quad (0<x<2\pi)$
$\displaystyle C_2:y=a \cos x-a-\frac{3}{4} \quad (0<x<2\pi)$

を考える．$C_1$と$C_2$は共有点をもち，ある共有点での$C_1$と$C_2$の接線は一致し，かつその傾きは$0$でないとする．次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の概形を同一座標平面上にかけ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$のとき，$\displaystyle M=\log_2 8a+\log_{4a} \frac{1}{16}$について，次の各問に答えよ．

(1)$\log_2 a=b$とするとき，$M$を$b$を用いて表せ．
(2)不等式$M>\log_{\frac{1}{3}}9$を満たす定数$a$の値の範囲を求めよ．

放物線$C:y=-a^2 x^2+1$と直線$\ell:y=a(x+1)$について，次の各問に答えよ．ただし，$a$は$a>0$を満たす定数とする．

(1)$C$と$\ell$が異なる$2$つの共有点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\ell$が$C$に接するとき，不等式$x \leqq 0$の表す領域内において$C$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$m$を定数とし，放物線$y=x^2+mx-2m+1$を$C_1$とします．次の問いに答えなさい．

(1)$C_1$を原点に関して対称移動した後，さらに$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$-m$だけ平行移動した放物線を$C_2$とするとき，放物線$C_2$の方程式を求めなさい．
(2)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$がともに，$x$軸と共有点をもつような定数$m$の値の範囲を求めなさい．

$a$を定数とする．$x>0$における関数
\[ f(x)=\log x+ax^2-3x \]
について，曲線$y=f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で変曲点をもつとする．

(1)$a$を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a$を$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$をみたす定数とし，方程式
\[ x(1-\cos x)=\sin (x+a) \]
を考える．

(1)$n$を正の整数とするとき，上の方程式は$\displaystyle 2n \pi<x<2n \pi+\frac{\pi}{2}$の範囲でただ$1$つの解をもつことを示せ．
(2)$(1)$の解を$x_n$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n-2n \pi)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n}(x_n-2n \pi)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$を用いてよい．

数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を

$a_1=119,\quad a_{n+1}-a_n=12n-61 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k}=-\frac{1}{2}n(n-2c+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

によって定める．ここで$c$は$5<c<6$を満たす定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$a_nb_n>0$となる$n$をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_kb_k$が最大になる$n$を求めよ．