$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，常に$3x^2-2ax+a>0$となる定数$a$の範囲を求めよ．$[$2$]$

$a$を正の定数，$e$を自然対数の底として，$\displaystyle f(x)=\int_0^a |xe^x-te^t| \, dt (0 \leqq x \leqq a)$とする．以下の$[　]$にあてはまる適切な数，または式を記入しなさい．また，$(2)$に答えなさい．

(1)$f(0)=[　]$であり，$f(a)=[　]$である．
(2)$f(x)$を$a$と$x$を用いた式で表せ（途中の計算式も合わせて記載せよ）．
(3)$f^\prime(x)=0$のとき，$x=[　]$である．
(4)$f(x)$の最小値は$[　]$，最大値は$[　]$である．

次の各問に答えよ．

(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．

$a$を定数として，$2$次関数$y=x^2+3ax+6-2a$とそのグラフを考える．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$a=1$のとき，この関数のグラフの頂点の座標は$\displaystyle \left( -\displaystyle\frac{[$16$]}{[$17$]},\ \displaystyle\frac{[$18$]}{[$19$]} \right)$である．
(2)この関数のグラフが$x$軸と接するとき，$\displaystyle a=\frac{-[$20$] \pm [$21$] \sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$である．
(3)$x=-2$のとき，この関数は最小値をとる．このとき，$\displaystyle a=\frac{[$24$]}{[$25$]}$，最小値は$\displaystyle -\frac{[$26$]}{[$27$]}$である．
(4)この関数の最小値が$-7$であるとき，$a=[$28$]$または$\displaystyle a=-\frac{[$29$]}{[$30$]}$である．

$2$次関数$y=ax^2-2ax+b-2$のグラフを$C$とする．ただし，$a,\ b$は定数とする．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$C$が$2$点$(-2,\ 1)$，$(1,\ 4)$を通るとき，
\[ a=-\frac{[$22$]}{[$23$]},\quad b=\frac{[$24$]}{[$25$]} \]
である．
(2)この関数の最大値が$3$であり，$C$が点$(-1,\ 1)$を通るとき，
\[ a=-\frac{[$26$]}{[$27$]},\quad b=\frac{[$28$]}{[$29$]} \]
である．
(3)$C$が$x$軸と接し，点$(3,\ 2)$を通るとき，
\[ a=\frac{[$30$]}{[$31$]},\quad b=\frac{[$32$]}{[$33$]} \]
である．
(4)区間$0 \leqq x \leqq 4$において，この関数の最大値が$5$，最小値が$-2$であるとき，
\[ a=\frac{[$34$]}{[$35$]},\quad b=\frac{[$36$]}{[$37$]},\quad \text{または} \quad a=-\frac{[$38$]}{[$39$]},\quad b=\frac{[$40$]}{[$41$]} \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき，$x^2+y^2-xy=[アイ]$である．

(2)$\displaystyle 1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}}=\frac{[ウ]x+[エ]}{[オ]x+[カ]}$である．
(3)$k$を定数とする．$2$次方程式$x^2+(3k+1)x+2k^2+2k-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$\beta-\alpha=2$とする．このとき，$k=[キ]$であり，$\alpha=[クケ]$，$\beta=[コサ]$である．
(4)不等式$|2x^2+x-2|>1$の解は$\displaystyle x<\frac{[シス]}{[セ]}$，$\displaystyle [ソタ]<x<\frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]<x$である．
(5)等式$720x=y^3$を満たす正の整数$x,\ y$の組のうち，$x$が最小であるものは$x=[アイウ]$，$y=[エオ]$である．
(6)点$(1,\ 2)$に関して点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$([カ],\ [キ])$である．また，直線$2x-y-1=0$に関して，点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[クケ]}{[コ]},\ \frac{[サ]}{[シ]} \right)$である．
(7)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$5$，最小値が$-2$であるとき，$\displaystyle a=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(8)$2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の差の絶対値が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である．

$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極大値$1$をとり，$x=1$で極小値$0$をとる．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$f^\prime(x)=ax(x-[ア])$（$a$は定数）と表せる．

(2)$(1)$より$\displaystyle f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}ax^3-\frac{[エ]}{[オ]}ax^2+b$（$b$は定数）と表せる．

(3)$(2)$と$f(x)$の極大値と極小値に関する条件から，$a=[カ]$，$b=[キ]$となる．よって，$f(x)=[ク]x^3-[ケ]x^2+[コ]$である．

(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[ス]}$，$[セ]$である．

(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)曲線$y=e^x$上の点$(t,\ e^t)$と直線$y=2x$の距離を$d(t)$とする．$d(t)$の最小値を求めよ．
(5)不定積分$\displaystyle \int \log 2x \, dx$を計算せよ．ただし積分定数は$C$とすること．

$a$を定数とし，$2$次関数$y=ax^2-4ax+a+5$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えなさい．

(1)グラフ$C$が点$(3,\ 1)$を通るとき，$a$の値を求めなさい．
(2)$(1)$で求めた関数の頂点の座標を求めなさい．
(3)$(1)$で求めた関数について，$-1 \leqq x \leqq 3$の時，$y$の最大値と最小値をそれぞれ求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．