「定数」について
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公立 九州歯科大学 2010年 第3問$\displaystyle I_n=\int_0^c \sin^n x \cos^5 x \, dx$，$\displaystyle J_n=\int_0^c \sin^n x \cos x \, dx$，$K_n=J_n-J_{n+2}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数であり，$c$は正の定数である．
(1)$I_n$を$K_n$と$K_{n+2}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle A_n=\sum_{m=1}^n I_m$を$K_1,\ K_2,\ K_{n+1},\ K_{n+2}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle K_n=\frac{2}{(n+a_1)(n+a_2)}$となる定数$a_1$と$a_2$を求めよ．ただし，$a_1<a_2$とする．
(4)$\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \alpha(A_n+\beta)n^2=1$となる定数$\alpha$と$\beta$を求めよ．
(1)$I_n$を$K_n$と$K_{n+2}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle A_n=\sum_{m=1}^n I_m$を$K_1,\ K_2,\ K_{n+1},\ K_{n+2}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle K_n=\frac{2}{(n+a_1)(n+a_2)}$となる定数$a_1$と$a_2$を求めよ．ただし，$a_1<a_2$とする．
(4)$\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \alpha(A_n+\beta)n^2=1$となる定数$\alpha$と$\beta$を求めよ．
公立 高知工科大学 2010年 第2問$a,\ m$を正の定数とする．座標平面において，曲線$C:y=x^3-2ax^2+a^2x$と直線$\ell:y=m^2x$は，異なる$3$点を共有し，その$x$座標はいずれも負ではないとする．次の各問に答えよ．
(1)$m$の取り得る値の範囲を$a$で表せ．また，$C$と$\ell$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積が等しいとき，$m$を$a$で表せ．
(3)(2)のとき，$2$つの図形の面積の和が$\displaystyle \frac{1}{2}$になるように$a$の値を定めよ．
(1)$m$の取り得る値の範囲を$a$で表せ．また，$C$と$\ell$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積が等しいとき，$m$を$a$で表せ．
(3)(2)のとき，$2$つの図形の面積の和が$\displaystyle \frac{1}{2}$になるように$a$の値を定めよ．
公立 和歌山県立医科大学 2010年 第1問$\displaystyle \frac{\pi}{12} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle t=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$とおく．$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$a$を正の定数とする．$\displaystyle y=\tan^2 \theta+\frac{1}{\tan^2 \theta}-a \left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta} \right)$のとり得る値の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle t=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$とおく．$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$a$を正の定数とする．$\displaystyle y=\tan^2 \theta+\frac{1}{\tan^2 \theta}-a \left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta} \right)$のとり得る値の範囲を求めよ．
公立 富山県立大学 2010年 第1問曲線$C:y=\sqrt{4x-x^2-3} (1 \leqq x \leqq 3)$について，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$のグラフをかけ．
(2)$k$は定数とする．直線$y=x+k$と曲線$C$が接する点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$がある．点$\mathrm{Q}$が曲線$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABQ}$の面積の最小値を求めよ．
(1)曲線$C$のグラフをかけ．
(2)$k$は定数とする．直線$y=x+k$と曲線$C$が接する点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$がある．点$\mathrm{Q}$が曲線$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABQ}$の面積の最小値を求めよ．
公立 岐阜薬科大学 2010年 第3問$a$は$a \leqq 1$を満たす実数の定数とする．$x \geqq 1-a$で連続な関数$f(x)$が
\[ \int_{1-a}^x f(t)(x-t) \, dt=24(x+a)^2 \log (x+a)-x^4-24x \quad (x \geqq 1-a) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値と$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 1-a$で$f(x)$の増減をしらべ，極値を求めよ．
\[ \int_{1-a}^x f(t)(x-t) \, dt=24(x+a)^2 \log (x+a)-x^4-24x \quad (x \geqq 1-a) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値と$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 1-a$で$f(x)$の増減をしらべ，極値を求めよ．
公立 横浜市立大学 2010年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$4$次方程式
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \]
を考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で，$a \neq 0$とする．$x=t+\alpha$（$\alpha$は定数）とおいて，$t$に関する$4$次方程式
\[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \]
の形にする．このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$R$を正の実数とする．極限値
\[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \]
を求めよ．
(3)地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には
\[ \log_{10}E=4.8+1.5M \]
の関係がある（単位系は省略）．$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり，気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる．東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており，それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい．駿河湾地震のエネルギーを$E_S$，東海地震のそれを$E_T$とおき
\[ \frac{E_T}{E_S} \]
を求めよ．簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$，$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し，小数点以下は切り捨てること．
(1)$4$次方程式
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \]
を考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で，$a \neq 0$とする．$x=t+\alpha$（$\alpha$は定数）とおいて，$t$に関する$4$次方程式
\[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \]
の形にする．このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$R$を正の実数とする．極限値
\[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \]
を求めよ．
(3)地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には
\[ \log_{10}E=4.8+1.5M \]
の関係がある（単位系は省略）．$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり，気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる．東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており，それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい．駿河湾地震のエネルギーを$E_S$，東海地震のそれを$E_T$とおき
\[ \frac{E_T}{E_S} \]
を求めよ．簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$，$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し，小数点以下は切り捨てること．
公立 釧路公立大学 2010年 第1問経済学において，企業とは自社の利益を最大にすることを目標に活動している組織であり，企業の利益は「売上総額$-$生産費用」で計算されると考えられている．
いま，ある企業が$1$日$x$台（ただし$x \geqq 0$とする）の太陽光パネルを生産している．その$1$台あたりの販売価格$p$万円および$x$台生産するための生産費用$c$万円は，生産台数$x$の関数で表され，それぞれ$p=-4x+a$，$c=x^2+b$である（$a,\ b$は定数である）．ただし，太陽光パネルの生産台数は工場の生産能力の限界により，$1$日$10$台までに制限されている．また，生産した太陽光パネルはその日のうちにすべて売却している．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)この企業の$1$日あたりの利益$f(x)$を生産台数$x$の関数で表せ．
(2)$a=80$，$b=200$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(3)$a=150$，$b=300$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(4)$a=40$のとき，この企業がどのような生産台数を選んだとしても赤字にならない（選択可能なすべての$x$に対して，$f(x) \geqq 0$となる）$b$の範囲を求めよ．
いま，ある企業が$1$日$x$台（ただし$x \geqq 0$とする）の太陽光パネルを生産している．その$1$台あたりの販売価格$p$万円および$x$台生産するための生産費用$c$万円は，生産台数$x$の関数で表され，それぞれ$p=-4x+a$，$c=x^2+b$である（$a,\ b$は定数である）．ただし，太陽光パネルの生産台数は工場の生産能力の限界により，$1$日$10$台までに制限されている．また，生産した太陽光パネルはその日のうちにすべて売却している．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)この企業の$1$日あたりの利益$f(x)$を生産台数$x$の関数で表せ．
(2)$a=80$，$b=200$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(3)$a=150$，$b=300$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(4)$a=40$のとき，この企業がどのような生産台数を選んだとしても赤字にならない（選択可能なすべての$x$に対して，$f(x) \geqq 0$となる）$b$の範囲を求めよ．