次の問いに答えよ．

(1)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が条件
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1 \quad \text{かつ} \quad |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=\frac{25}{44} \]
をみたすとする．ベクトル$\overrightarrow{c}$が正の数$t$を用いて
\[ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
と表され，かつ$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{5}$であるならば
\[ t=\frac{[アイ]}{[ウ]} \]
である．
(2)座標平面上の放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{4}{5}x^2$と円$C_2:x^2+(y-a)^2=a^2$（$a$は正の定数）が$3$つの共有点をもつような$a$の値の範囲は
\[ a>\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．

$a$を実数の定数とし，関数
\[ f(x)=|2x^3-x^2-ax-36| \]
を考える．関数$f(x)$は$x=p$で微分可能で，かつ$f(p)=0$であるとする．このとき
\[ p=[アイ],\quad a=[ウエ] \]
であり，かつ関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[オ]}{[カ]}$では微分可能でない．

関数$f(x)=(x-k)^2$と$g(x)=-(x-2)^2+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数である．

(1)曲線$y=g(x)$について，傾きが$-2$である接線の方程式を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．
(2)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた範囲にある数とする．さらに，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq (x-k)^2 \\
y \leqq -(x-2)^2+4 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす領域を動くとき，$y+2x$の最大値が$9$となるような$k$の値の範囲を求めよ．

$k$を正の定数とする．関数$f(x)=kx^2-2 \log x+1$について，曲線$y=f(x)$を$C$とする．次の問いに答えよ．ただし，自然対数の底を$e$で表す．

(1)関数$f(x)$の極値を$k$を用いて表せ．
(2)曲線$C$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた値のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=2e$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

円$C:x^2+y^2-4y+3=0$と直線$\ell:2ax-y-2a=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるときの，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．

$2$つの放物線$C_1:y=x^2+2$，$C_2:y=x^2-2$について，以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(k,\ k^2+2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，$k$は定数である．
(2)接線$\ell$と放物線$C_2$の交点の$x$座標を$k$の式で表せ．
(3)接線$\ell$と放物線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$は定数とする．$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(a-1,\ (a-1)^2)$について，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$と$y$軸との交点の座標を$a$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$a$の式で表せ．ただし，$a \neq 0,\ 1$とする．
(3)$0<a<1$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)原点を通る放物線$y=x^2+2ax+b$の頂点が直線$y=2x-3$上にあるとき，$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(2)$p$を負の定数とする．$(1)$で求めた$2$次関数の$p \leqq x \leqq 0$における最小値$m$とそのときの$x$を求めよ．

$a$を定数とする．$2$つの変量$(x,\ y)$が右の$4$つの観測値をとった．このとき，次の問いに答えよ．
\begin{mawarikomi}{40mm}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $0$ & $1$ & $a$ & $a+1$ \\ \hline
$y$ & $0$ & $0$ & $1$ & $1$ \\ \hline
\end{tabular}
}

(1)$x,\ y$の平均値$\overline{x},\ \overline{y}$をそれぞれ求めよ．
(2)$x,\ y$の分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$をそれぞれ求めよ．
(3)$x$と$ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．
(4)$x$と$y$の相関係数$r$を$a$を用いて表せ．

\end{mawarikomi}

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{3-i}{3+i}=\frac{[ア]-[イ]i}{[ウ]}$（ただし，$i^2=-1$）である．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2(k-4)x+2k=0$が重解をもつような定数$k$の値は小さい順に$[エ]$，$[オ]$である．
(3)$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2-6x+35$のグラフは，放物線$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2$を$x$軸方向に$[カ]$，$y$軸方向に$[キ]$だけ平行移動した放物線である．
(4)$10$個の値$1,\ 3,\ 8,\ 5,\ 8,\ [ク],\ 3,\ 7,\ 7,\ 1$からなるデータの平均値は$5$，最頻値は$[ケ]$，中央値は$[コ]$である．
(5)$x>0$において，$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right) \left( 2-\frac{9}{x} \right)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}$のとき，最小値$[スセ]$をとる．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個の数字を使ってできる$3$桁の整数は$[ソタ]$個あり，そのうち偶数のものは$[チツ]$個ある．
(7)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$\displaystyle \cos 3\theta=\frac{1}{2}$をみたす$\theta$のうち，最大のものは$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]} \pi$である．
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^3-3x+2) \, dx=\frac{[ニヌ]}{[ネ]}$である．