曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとる．ただし$b>-1$とする．このとき，次の条件を満たす$b$の範囲を求めよ．


\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-1<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．

曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 4)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとる．ただし$b>-2$とする．このとき，次の条件を満たす$b$の範囲を求めよ．


\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-2<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．

平面上で原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$を考える．実数$s,\ t$に対し，点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
により定める．以下の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$が条件
\[ -1 \leqq s \leqq 1,\quad -1 \leqq t \leqq 1,\quad -1 \leqq s+t \leqq 1 \]
を満たすとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の存在する範囲$D$を図示せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$(1)$で求めた範囲$D$を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値を求め，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

約数，公約数，最大公約数を次のように定める．
\begin{itemize}
$2$つの整数$a,\ b$に対して，$a=bk$をみたす整数$k$が存在するとき，$b$は$a$の約数であるという．
$2$つの整数に共通の約数をそれらの公約数という．
少なくとも一方が$0$でない$2$つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という．
\end{itemize}
以下の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない整数で$a=pb+c$をみたしているとする．

(i) $a=18$，$b=30$，$c=-42$，$p=2$のとき，$a$と$b$の公約数の集合$S$，および$b$と$c$の公約数の集合$T$を求めよ．
(ii) $a$と$b$の最大公約数を$M$，$b$と$c$の最大公約数を$N$とする．$M$と$N$は等しいことを示せ．ただし，$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない任意の整数とする．

(2)自然数の列$\{a_n\}$を
\[ a_{n+2}=6a_{n+1}+a_n (n=1,\ 2,\ \cdots),\quad a_1=3,\quad a_2=4 \]
で定める．

(i) $a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．
(ii) $a_{n+4}$を$a_{n+2}$と$a_n$を用いて表せ．
(iii) $a_{n+2}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．

空間の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 3)$を通る直線を$\ell$とし，$2$点$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ 0,\ 1)$を通る直線を$m$とする．$a$を定数として，$\ell$上にも$m$上にもない点$\mathrm{P}(s,\ t,\ a)$を考える．

(1)$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を中心とし，$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ．
(3)$s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき，平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し，その焦点と準線を$a$を用いて表せ．

次の問に答えよ．ただし$2$次方程式の重解は$2$つと数える．

(1)次の条件$(*)$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ．
\[ (*) \left\{ \begin{array}{l}
\text{$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解が$c,\ d$である．} \\
\text{$2$次方程式$x^2+cx+d=0$の$2$つの解が$e,\ f$である．} \\
\text{$2$次方程式$x^2+ex+f=0$の$2$つの解が$a,\ b$である．}
\end{array} \right. \]
(2)$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は，次の条件$(**)$を満たすとする．

\mon[$(**)$] すべての正の整数$n$について，$a_n,\ b_n$は整数であり，$2$次方程式$x^2+a_nx+b_n=0$の$2$つの解が$a_{n+1},\ b_{n+1}$である．

このとき，

(i) 正の整数$m$で，$|b_m|=|b_{m+1|}=|b_{m+2|}=\cdots$となるものが存在することを示せ．
(ii) 条件$(**)$を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の組をすべて求めよ．

$k$を正の整数とし，$10$進法で表された小数点以下$k$桁の実数
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる．ここで，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で，$a_k \neq 0$とする．

(1)次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2)$p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3)実数$x$に対し，$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．

分母が奇数，分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする．例えば$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$2$はそれぞれ$\displaystyle \frac{-1}{3},\ \frac{2}{1}$と表せるから，ともに控えめな有理数である．$1$個以上の有限個の控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して，集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$を，
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める．例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから，$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である．

(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ．
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき，$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ．
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ．
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか．ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし，$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える．

$a$を正の実数とし，$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \]
で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき，$a$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする．このとき，方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし，
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \]
とおく．

(i) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ．
(ii) $\tan x_3$を$a$の式で表せ．

$1$個のさいころを$2$回投げ，最初に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．$2$次方程式$x^2-ax+b=0$について，次の問いに答えよ．

(1)実数解は存在すれば正であることを示せ．
(2)実数解の個数が$1$となる確率を求めよ．
(3)実数解の個数が$2$となる確率を求めよ．