タグ「多項式」の検索結果

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東北大学 国立 東北大学 2016年 第4問
多項式$P(x)$を
\[ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} \]
により定める.ただし,$i$は虚数単位とする.以下の問いに答えよ.

(1)$P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき,係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ.
(2)$0<\theta<\pi$に対して,
\[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \]
が成り立つことを示せ.
(3)$(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて,多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える.$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として,$k=1,\ 2,\ 3$について
\[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \]
とおく.このとき,$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し,$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ.
高知大学 国立 高知大学 2016年 第4問
自然数$n$と多項式$f(x)$に対して,$\displaystyle a_n=\int_{-1}^1 x^{n-1}f(x) \, dx$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき,$a_3 \neq 0$を示せ.
(2)$f(x)$が$2$次式で$a_1=1$,$a_2=0$,$\displaystyle a_3=\frac{3}{5}$のとき,一般項$a_n$を求めよ.
(3)$f(x)$を$k$次式とする.$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき,任意の自然数$n$に対して,$\displaystyle |a_{2n|} \leqq \frac{(k+1)M}{2n+1}$が成り立つことを示せ.
(4)任意の多項式$f(x)$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$が成り立つことを示せ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問
以下では$n$は$0$以上の整数とする.関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め,$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく.

(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ.
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ.
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して,$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく.定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき,
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ.
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問
以下では$n$は$0$以上の整数とする.関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め,$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく.

(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ.
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ.
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して,$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく.定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき,
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ.
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき,$\sin \theta \cos \theta=[ア]$,$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である.
(2)高さが$1$の円錐を,頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する.体積が$2$等分されるのは,$a=[ウ]$のときである.
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である.
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$,$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$,$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると,$A+B+C=[オ]$である.
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である.
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが,円形のテーブルの周りに座る.子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある.ただし,回転して一致するものは同じ座り方とみなす.
(7)半透明のガラス板がある.光がガラス板$1$枚を通ると,その強さが$8$割に減る.光の強さが当初の$1$割未満となるのは,ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである.ただし,必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ.
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを,$\mathrm{A}$は徒歩で,$\mathrm{B}$は自転車で,同じ地点から同時にスタートし,同じ方向に回る.自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき,$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと,$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は,スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である.
公立はこだて未来大学 公立 公立はこだて未来大学 2016年 第4問
数列$\{a_n\}$が以下の漸化式をみたすとする.
\[ a_1=-4,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{3}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また,実数$x$の多項式$P_n(x)$を
\[ P_n(x)=a_1x+\cdots +a_nx^n \]
で定める.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(2)$P_n(x)$を$x-1$で割ったときの余りを求めよ.
(3)$P_n(x)$を$x-4$で割ったときの余りが$-24$になるように,$n$の値を定めよ.
奈良県立医科大学 公立 奈良県立医科大学 2016年 第4問
$\displaystyle b=a+\frac{1}{a}$とする.
\[ a^5+\frac{1}{a^5} \]
を$b$の多項式で表せ.
熊本大学 国立 熊本大学 2015年 第4問
$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし,$x^3$の係数は$1$,定数項は$0$とする.$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする.以下の問いに答えよ.

(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき,$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ.
熊本大学 国立 熊本大学 2015年 第1問
$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし,$x^3$の係数は$1$,定数項は$0$とする.$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする.以下の問いに答えよ.

(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき,$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ.
名古屋大学 国立 名古屋大学 2015年 第3問
次の問に答えよ.

(1)$\displaystyle \left( \sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}} \right)^2$を計算し,$2$重根号を用いない形で表せ.
(2)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき,整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち,$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ.
(3)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
(ただし,複号$\pm$はすべての可能性にわたる)の中で,$(2)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求めよ.
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