タグ「外分」の検索結果

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新潟大学 国立 新潟大学 2016年 第2問
$\triangle \mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}=5$,$\mathrm{OB}=6$,$\mathrm{AB}=7$とする.$t$を$0<t<1$を満たす実数とする.辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ.
新潟大学 国立 新潟大学 2016年 第2問
$\triangle \mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}=5$,$\mathrm{OB}=6$,$\mathrm{AB}=7$とする.$t$を$0<t<1$を満たす実数とする.辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第5問
$\triangle \mathrm{OAB}$において,辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$,辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,線分$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{E}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする.以下の問に答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)直線$\mathrm{CE}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)辺$\mathrm{AB}$を$7:1$に外分する点を$\mathrm{G}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$を$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$となる直角二等辺三角形とするとき,$\angle \mathrm{CEG}$の大きさを求めよ.
東京農工大学 国立 東京農工大学 2016年 第1問
$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -2)$,$\mathrm{B}(-1,\ -4,\ 0)$,$\mathrm{C}(2,\ 2,\ -4)$,$\mathrm{D}(2,\ 4,\ -4)$をとる.また,線分$\mathrm{AB}$を$t:(1+t)$に外分する点を$\mathrm{P}$,線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とおく.ただし,$t$は正の実数とする.次の問いに答えよ.

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の成分を$t$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直であるとき,$t$の値を求めよ.
(3)実数$r,\ s$について$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=r \overrightarrow{\mathrm{DC}}+s \overrightarrow{\mathrm{DQ}}$が成り立つとする.このとき,$r,\ s,\ t$の値を求めよ.
(4)$t$が$(3)$で求めた値のとき,直線$\mathrm{DP}$と直線$\mathrm{CQ}$の交点の座標を求めよ.
(5)$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を$S(t)$とする.$S(t)$の最小値を求めよ.また,そのときの$t$の値を求めよ.
徳島大学 国立 徳島大学 2016年 第2問
$\triangle \mathrm{OAB}$において,次のように$6$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{Q}^\prime$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{R}^\prime$を定める.辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$,$p:(1-p)$に外分する点を$\mathrm{P}^\prime$とする.同様に,辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$,外分する点を$\mathrm{Q}^\prime$とし,辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$,外分する点を$\mathrm{R}^\prime$とする.ただし,$0<p<1$,$0<q<1$,$0<r<1$かつ$\displaystyle p \neq \frac{1}{2}$,$\displaystyle q \neq \frac{1}{2}$,$\displaystyle r \neq \frac{1}{2}$とする.

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき,$p:q:r$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行でないとする.$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の重心が一致するとき,$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行であるとき,$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ.
防衛医科大学校 国立 防衛医科大学校 2016年 第3問
四面体$\mathrm{ABCD}$において,$\triangle \mathrm{BCD}$は$1$辺の長さが$2 \sqrt{2}$の正三角形,その他$3$つの三角形は$2$辺の長さが$4$の二等辺三角形である.辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{I}$,辺$\mathrm{AC}$を$5:1$に外分する点を$\mathrm{K}$,辺$\mathrm{BC}$と$\mathrm{IK}$の交点を$\mathrm{J}$として,以下の問に答えよ.

(1)$\mathrm{BJ}:\mathrm{JC}$,$\mathrm{IJ}:\mathrm{JK}$はそれぞれいくらか.
(2)$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{G}$,$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.$\mathrm{AG}$,$\mathrm{BH}$の長さはいくらか.
(3)四面体$\mathrm{JCDK}$の体積はいくらか.
福井大学 国立 福井大学 2016年 第2問
四面体$\mathrm{OABC}$において,辺$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$のどの$2$辺も互いに直交し,長さがすべて$1$である.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{D}$を
\[ \mathrm{OD}=1,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{BOD}<{90}^\circ,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{COD}<{90}^\circ \]
となるようにとり,$\angle \mathrm{BOD}=\theta$,$\cos \theta=x$とおく.線分$\mathrm{AB}$を$(x+2):x$に外分する点を$\mathrm{E}$,線分$\mathrm{AC}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{F}$,三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を,$x,\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.また,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を,$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{G}$が$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面上にあるような$x$の値を求めよ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$の内積の最小値と,そのときの$x$の値を求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを記入しなさい.

(1)座標空間内の点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(2,\ -1,\ -1)$,$\mathrm{C}(-1,\ -2,\ -4)$,$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 6)$に対して,三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{M}$とし,三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{N}$とする.このとき,点$\mathrm{M}$の座標は$[ア]$である.また,線分$\mathrm{MN}$を$4:3$に外分する点の座標は$[イ]$である.
(2)$\alpha=-1+2i$とする.$x=\alpha$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解であるような実数の組$(a,\ b)$は$(a,\ b)=[ウ]$である.また$\alpha^5+2 \alpha^4+3 \alpha^3+4 \alpha^2+5 \alpha$の値は$[エ]$である.
(3)関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=2x^2+3x+\int_0^{\frac{1}{2}} f(t) \, dt$を満たすとき,$f(x)=[オ]$である.
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき,以下の確率を求めなさい.

(i) 出る目の最大値が$4$以下である確率は$[カ]$である.
(ii) 出る目の最大値が$4$である確率は$[キ]$である.
(iii) 出る目の最大値が$4$であるとき,少なくとも$1$個のさいころの目が$1$である確率は$[ク]$である.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第3問
球面$S:x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0$は点$\mathrm{A}([$24$],\ [$25$],\ [$26$])$で$xy$平面と接し,球面$S$と$zx$平面との交わりは中心$\mathrm{B}([$27$],\ [$28$],\ [$29$][$30$])$,半径$\sqrt{[$31$]}$の円である.

球面$S$の中心を$\mathrm{C}$,線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると,$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり,$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$(ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$)である.また,三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は,長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2016年 第1問
次の問に答えよ.

(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする.点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り,直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし,同じく点$\mathrm{A}$を通り,$x$軸に平行な直線を$n$とする.直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし,直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき,次の各問いに答えよ.

(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である.
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である.
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし,直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき,四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である.

(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし,動点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は,それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき,次の各問いに答えよ.

(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき,点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である.
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき,点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり,また,点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると,曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である.

(3)$a$を正の実数とし,$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする.曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を考える.点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし,点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする.点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし,点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする.$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき,次の各問いに答えよ.

(i) $a$の値は$[ク]$である.
(ii) $2$直線$\ell$,$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である.
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「外分」とは・・・

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