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山口大学 国立 山口大学 2016年 第1問
関数$f(x)=|x^3-3x^2-3x+1|$について,次の問いに答えなさい.

(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい.
(2)$f(x)$の増減,極値を調べ,$y=f(x)$のグラフをかきなさい.ただし,グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい.
(3)$a$を実数の定数とする.$x$についての方程式$f(x)=a$が,ちょうど$4$個の異なる実数解をもつように,$a$の値の範囲を定めなさい.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第4問
以下の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle y=xe^{-\frac{1}{2}x^2} (-2 \leqq x \leqq 2)$の増減および極値を調べ,このグラフの概形をかけ.

(2)$\displaystyle \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx$を求めよ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第4問
$\log x$は$x$の自然対数とする.

(1)$2$と$\log 4$の大小関係を,理由をつけて述べよ.必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい.さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ.
(2)$x>1$のとき,$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減,極値およびグラフの凹凸を調べ,このグラフの概形をかけ.
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$,および$x=e^2$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第3問
次の各問に答えよ.

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.ただし,$\log$は自然対数を表す.また,等式$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい.

(2)$a$を正の実数とする.このとき,$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ.

(3)定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log x}{x} \, dx$を求めよ.ただし,$e$は自然対数の底である.
静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第3問
次の各問に答えよ.

(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し,これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する.
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし,$e$は自然対数の底である.このとき,次の等式が成り立つことを示せ.
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて,関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
宮城教育大学 国立 宮城教育大学 2016年 第4問
実数$a$は$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$であるとする.関数$f(x)=\sqrt{x}-a \log x$について次の問いに答えよ.

(1)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ.
鳥取大学 国立 鳥取大学 2016年 第3問
実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする.$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき,次の問いに答えよ.

(1)$f(x)$の増減を調べ,極値を求めよ.
(2)$a>1$を満たす実数$a$に対して,$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき,$I(a)$を求めよ.
鳥取大学 国立 鳥取大学 2016年 第4問
実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする.$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき,次の問いに答えよ.

(1)$f(x)$の増減を調べ,極値を求めよ.
(2)$t>0$ならば$\displaystyle \frac{t^2}{2}<e^t$であることを用いて,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ.
(3)$a>1$を満たす実数$a$に対して,$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき,$I(a)$を求めよ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}I(a)$を求めよ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2016年 第5問
$k>0$,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.座標平面上の原点$\mathrm{O}$,点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し,第一象限の点$\mathrm{P}$を,$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり,直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする.$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし,関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき,$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ.
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ.
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ,曲線$C$の概形をかけ.
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$,$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を,$k$を用いて表せ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2016年 第6問
関数$f(x)=(\log x)^2-\log x (x>0)$を考える.次の各問いに答えよ.

(1)$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ.
(2)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ.また関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし関数$y=f(x)$の増減,凹凸,極限$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を明示すること.
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
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「増減」とは・・・

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