曲線$\displaystyle y=|x^2-\displaystyle\frac{7|{2}x}+\frac{3}{2}x$を$C$とするとき，以下の設問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形を$xy$平面上に図示せよ．
(2)曲線$C$上の$x=2$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{1-x+x^2}$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=1$で囲まれた図形を$F$とする．

(1)図形$F$の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]} \pi \]
である．
(2)図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[エ] \sqrt{[オ]}}{[カキ]} \pi^2+\frac{[ク]}{[ケ]} \pi \]
である．

$2$つの放物線$C_1:y=x^2+2$，$C_2:y=x^2-2$について，以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(k,\ k^2+2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，$k$は定数である．
(2)接線$\ell$と放物線$C_2$の交点の$x$座標を$k$の式で表せ．
(3)接線$\ell$と放物線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=x+\sqrt{4-x^2} (-2 \leqq x \leqq 2)$について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(-\sqrt{2})$の値を求めよ．また，$f^\prime(x)=0$を解け．
(3)$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．ただし，凹凸は調べなくてもよい．
(4)$4-x^2=t$とおき，置換積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int x \sqrt{4-x^2} \, dx$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

関数$f(x)=|x^2-x|-x^2$について，次の問いに答えよ．

(1)不等式$x^2-x<0$を解け．
(2)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)直線$\displaystyle y=a \left( x-\frac{1}{2} \right)$と$y=f(x)$のグラフがちょうど$2$点を共有するような定数$a$の値をすべて求めよ．

$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
ax & (x \leqq 1) \\
(4-a)x+2(a-2) & (1<x) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定義する．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす実数である．

(1)$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$の共有点の個数は$[ロ]$である．このうち，$a$の値によらない共有点の座標は，$([ワ],\ [ヲ])$，$([ン],\ [あ])$である．ただし，$[ワ]<[ン]$とする．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積の総和を$S(a)$とすると，
\[ S(a)=\frac{[い]}{[う]}a^3-a+\frac{[え]}{[お]} \]
である．
(3)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{\sqrt{[か]}}{[き]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[く]-\sqrt{[け]}}{[こ]}$をとる．

$f(x)=(x-1) \sqrt{-x^2+4x-3} (1 \leqq x \leqq 3)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と，$2$直線$x=1$，$\displaystyle y=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極大値$1$をとり，$x=1$で極小値$0$をとる．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$f^\prime(x)=ax(x-[ア])$（$a$は定数）と表せる．

(2)$(1)$より$\displaystyle f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}ax^3-\frac{[エ]}{[オ]}ax^2+b$（$b$は定数）と表せる．

(3)$(2)$と$f(x)$の極大値と極小値に関する条件から，$a=[カ]$，$b=[キ]$となる．よって，$f(x)=[ク]x^3-[ケ]x^2+[コ]$である．

(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[ス]}$，$[セ]$である．

(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．

$a$を実数とする．$2$つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-x^2+2x+a$は異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．次の各問に答えよ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．$\ell_1$，$\ell_2$が互いに直交するような$a$の値を求めよ．
(3)$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積が$9$となるような$a$の値を求めよ．

放物線$y=4x^2+x$を$C$とし，$a$を正の実数とする．

(1)$C$上の点$(1,\ 5)$における接線の方程式を求めよ．
(2)点$(0,\ -a)$から$C$へ引いた$2$つの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし$\ell_1$の傾きは$\ell_2$の傾きより大きいとする．また，$\ell_1,\ \ell_2$と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式と$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$の座標を求めよ．
(3)$2$点$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$を通る直線および$C$で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．
(4)$\ell_1,\ \ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．