「回転体の体積」について
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国立 福井大学 2016年 第1問関数$f(x)=e^x+e^{-x}$があり，$g(x)=f^\prime(x)$，$h(x)=xf(x)$とおく．$a$を実数として，点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の法線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(a,\ g(a))$における曲線$y=g(x)$の法線を$m$とする．$\ell$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{R}$の座標を，$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$，$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$\mathrm{R}$の座標を，$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$，$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 福井大学 2016年 第4問$a$を正の定数とし，$f(x)=(x+a) \log x$とする．曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線$\ell$が原点を通るとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値と，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸，および接線$\ell$とで囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき，関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ．
(1)$a$の値と，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸，および接線$\ell$とで囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき，関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ．
国立 福井大学 2016年 第1問関数$f(x)=e^x+e^{-x}$があり，$g(x)=f^\prime(x)$，$h(x)=xf(x)$とおく．$a$を実数として，点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の法線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(a,\ g(a))$における曲線$y=g(x)$の法線を$m$とする．$\ell$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{R}$の座標を，$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$，$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$\mathrm{R}$の座標を，$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$，$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について，$a_{27}=20$，$a_{37}=15$が成り立っている．このとき，$a_1=[ア]$であり，$d=[イ]$である．したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる．
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積は$[エ]$であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である．
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり，法線$m$の方程式は$[ク]$である．また，$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると，$X$の範囲は$[ケ]$であり，$Y$の範囲は$[コ]$である．
(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について，$a_{27}=20$，$a_{37}=15$が成り立っている．このとき，$a_1=[ア]$であり，$d=[イ]$である．したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる．
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積は$[エ]$であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である．
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり，法線$m$の方程式は$[ク]$である．また，$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると，$X$の範囲は$[ケ]$であり，$Y$の範囲は$[コ]$である．
私立 北里大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答えを記せ．
(1)$a$と$\theta$を実数とし，$2$次方程式$x^2-\sqrt{7}ax+3a^3=0$の$2$つの解を$\sin \theta$，$\cos \theta$とする．このとき，$a$の値は$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．さらに，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$であれば，$\sin \theta=[ウ]$である．
(2)$x,\ y,\ z$を$0$以上の整数とする．このとき
(i) $x+y+z=9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[エ]$である．
(ii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[オ]$である．
(iii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組のうち，$x,\ y,\ z$がすべて相異なるものの総数は$[カ]$である．
(3)$a$を$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数とする．直線$y=1-x$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を直線$y=a$の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする．このとき$V(a)$は，$\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}$ならば$[キ]$，$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ならば$[ク]$と$a$を用いて表される．また，$V(a)$のとり得る値の範囲は$[ケ]$である．
(4)$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
このとき，$\cos \angle \mathrm{MCN}$の値は$[コ]$である．また，頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{MNC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{MNC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}-[ス] \overrightarrow{c}$である．さらに，直線$\mathrm{OH}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{HF}}$の値は$[セ]$である．
(1)$a$と$\theta$を実数とし，$2$次方程式$x^2-\sqrt{7}ax+3a^3=0$の$2$つの解を$\sin \theta$，$\cos \theta$とする．このとき，$a$の値は$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．さらに，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$であれば，$\sin \theta=[ウ]$である．
(2)$x,\ y,\ z$を$0$以上の整数とする．このとき
(i) $x+y+z=9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[エ]$である．
(ii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[オ]$である．
(iii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組のうち，$x,\ y,\ z$がすべて相異なるものの総数は$[カ]$である．
(3)$a$を$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数とする．直線$y=1-x$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を直線$y=a$の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする．このとき$V(a)$は，$\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}$ならば$[キ]$，$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ならば$[ク]$と$a$を用いて表される．また，$V(a)$のとり得る値の範囲は$[ケ]$である．
(4)$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
このとき，$\cos \angle \mathrm{MCN}$の値は$[コ]$である．また，頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{MNC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{MNC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}-[ス] \overrightarrow{c}$である．さらに，直線$\mathrm{OH}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{HF}}$の値は$[セ]$である．
私立 東京女子大学 2016年 第8問$xy$平面において，連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq 2\pi,\quad \cos x \leqq y \leqq \sin x \]
の表す領域を$D$とおく．また，$D$のうち$y \geqq 0$の部分を$E$とおく．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)領域$D$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
\[ 0 \leqq x \leqq 2\pi,\quad \cos x \leqq y \leqq \sin x \]
の表す領域を$D$とおく．また，$D$のうち$y \geqq 0$の部分を$E$とおく．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)領域$D$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
私立 東京医科大学 2016年 第4問座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{1-x+x^2}$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=1$で囲まれた図形を$F$とする．
(1)図形$F$の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]} \pi \]
である．
(2)図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[エ] \sqrt{[オ]}}{[カキ]} \pi^2+\frac{[ク]}{[ケ]} \pi \]
である．
(1)図形$F$の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]} \pi \]
である．
(2)図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[エ] \sqrt{[オ]}}{[カキ]} \pi^2+\frac{[ク]}{[ケ]} \pi \]
である．
私立 大阪工業大学 2016年 第4問関数$f(x)=x+\sqrt{4-x^2} (-2 \leqq x \leqq 2)$について，次の問いに答えよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(-\sqrt{2})$の値を求めよ．また，$f^\prime(x)=0$を解け．
(3)$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．ただし，凹凸は調べなくてもよい．
(4)$4-x^2=t$とおき，置換積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int x \sqrt{4-x^2} \, dx$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(-\sqrt{2})$の値を求めよ．また，$f^\prime(x)=0$を解け．
(3)$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．ただし，凹凸は調べなくてもよい．
(4)$4-x^2=t$とおき，置換積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int x \sqrt{4-x^2} \, dx$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
私立 明治大学 2016年 第3問次の空欄に当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．ただし，空欄$[サシ]$は$2$桁の数をあらわす．
(1)$k$を自然数とすると
\[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=[ア] \]
である．
(2)直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし，曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする．直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり，点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする．関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので，直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである．その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと，
\[ h=\frac{1}{[イ]} \sin^2 t \]
となる．また，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは
\[ p=[ウ]t+\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \sin^2 t \]
となる．この等式の右辺を$f(t)$とおく．
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え，その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると，$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる．ここで，$p=f(t)$とおいて置換積分すれば，
\[ V=\frac{\pi}{[キ]} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \]
が成り立つ．$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{[ク]}{[ケ]} \pi$より，$\displaystyle V=\frac{[コ]}{[サシ]} \pi^2$である．
(1)$k$を自然数とすると
\[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=[ア] \]
である．
(2)直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし，曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする．直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり，点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする．関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので，直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである．その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと，
\[ h=\frac{1}{[イ]} \sin^2 t \]
となる．また，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは
\[ p=[ウ]t+\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \sin^2 t \]
となる．この等式の右辺を$f(t)$とおく．
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え，その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると，$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる．ここで，$p=f(t)$とおいて置換積分すれば，
\[ V=\frac{\pi}{[キ]} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \]
が成り立つ．$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{[ク]}{[ケ]} \pi$より，$\displaystyle V=\frac{[コ]}{[サシ]} \pi^2$である．
公立 広島市立大学 2016年 第3問関数$f(x)=x-\log x (x>0)$について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(e,\ f(e))$における接線を$\ell$とする．
(i) $\ell$の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$y=f(x)$，接線$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$，曲線$y=\log x$，直線$x=1$および直線$x=e$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(e,\ f(e))$における接線を$\ell$とする．
(i) $\ell$の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$y=f(x)$，接線$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$，曲線$y=\log x$，直線$x=1$および直線$x=e$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．