「同値」について
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国立 埼玉大学 2016年 第1問$a,\ b,\ c$は整数とする．次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$がともに偶数ならば，$a+b$は偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば，$ab$は奇数であることを示せ．
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと，$ab$が偶数であることは同値であることを示せ．
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば，$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ．
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば，$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ．
(1)$a,\ b$がともに偶数ならば，$a+b$は偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば，$ab$は奇数であることを示せ．
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと，$ab$が偶数であることは同値であることを示せ．
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば，$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ．
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば，$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ．
国立 静岡大学 2016年 第4問$\alpha$を絶対値が$1$の複素数とし，等式$z=\alpha^2 \overline{z}$を満たす複素数$z$の表す複素数平面上の図形を$S$とする．ただし，$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと，$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ．また，このことを用いて，図形$S$は原点を通る直線であることを示せ．
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする．このとき，$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ．
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと，$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ．また，このことを用いて，図形$S$は原点を通る直線であることを示せ．
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする．このとき，$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ．
国立 埼玉大学 2016年 第1問$a,\ b,\ c$は整数とする．次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$がともに偶数ならば，$a+b$は偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば，$ab$は奇数であることを示せ．
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと，$ab$が偶数であることは同値であることを示せ．
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば，$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ．
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば，$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ．
(1)$a,\ b$がともに偶数ならば，$a+b$は偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば，$ab$は奇数であることを示せ．
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと，$ab$が偶数であることは同値であることを示せ．
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば，$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ．
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば，$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ．
国立 千葉大学 2016年 第6問$p$を$2$でない素数とし，自然数$m,\ n$は
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
国立 千葉大学 2016年 第5問$p$を$2$でない素数とし，自然数$m,\ n$は
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
私立 早稲田大学 2016年 第3問次の不等式
\[ 1+\log_{\sqrt{x}} (n^2)<\log_n \sqrt{x}<\frac{1}{2}(1+\log_{\sqrt{n}} 3) \quad \cdots \quad (*) \]
を満たす自然数$n$と実数$x$について，以下の問に答えよ．
(1)次の空欄にあてはまる数を記入せよ．
$t=\log_n x$とおく．このとき，$\displaystyle 1+\log_{\sqrt{x}} (n^2)=1+\frac{[ア]}{t}$，$\log_n \sqrt{x}=[イ] \times t$である．したがって，不等式$1+\log_{\sqrt{x}}(n^2)<\log_n \sqrt{x}$が満たされることは，
$[ウ]<t<[エ]$または$t>[オ]$であることと同値である．
(2)$x$も自然数であるとき，不等式$(*)$を満たす組$(n,\ x)$をすべて求めよ．
\[ 1+\log_{\sqrt{x}} (n^2)<\log_n \sqrt{x}<\frac{1}{2}(1+\log_{\sqrt{n}} 3) \quad \cdots \quad (*) \]
を満たす自然数$n$と実数$x$について，以下の問に答えよ．
(1)次の空欄にあてはまる数を記入せよ．
$t=\log_n x$とおく．このとき，$\displaystyle 1+\log_{\sqrt{x}} (n^2)=1+\frac{[ア]}{t}$，$\log_n \sqrt{x}=[イ] \times t$である．したがって，不等式$1+\log_{\sqrt{x}}(n^2)<\log_n \sqrt{x}$が満たされることは，
$[ウ]<t<[エ]$または$t>[オ]$であることと同値である．
(2)$x$も自然数であるとき，不等式$(*)$を満たす組$(n,\ x)$をすべて求めよ．
国立 東北大学 2015年 第6問$k \geqq 2$と$n$を自然数とする．$n$が$k$個の連続する自然数の和であるとき，すなわち，
\[ n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1) \]
が成り立つような自然数$m$が存在するとき，$n$を$k$-連続和とよぶことにする．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．
(1)$n$が$k$-連続和であることは，次の条件$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$の両方が成り立つことと同値であることを示せ．
$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$は整数である．
$(\mathrm{B})$ $2n>k^2$が成り立つ．
(2)$f$を自然数とする．$n=2^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$は存在しないことを示せ．
(3)$f$を自然数とし，$p$を$2$でない素数とする．$n=p^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$の個数を求めよ．
\[ n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1) \]
が成り立つような自然数$m$が存在するとき，$n$を$k$-連続和とよぶことにする．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．
(1)$n$が$k$-連続和であることは，次の条件$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$の両方が成り立つことと同値であることを示せ．
$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$は整数である．
$(\mathrm{B})$ $2n>k^2$が成り立つ．
(2)$f$を自然数とする．$n=2^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$は存在しないことを示せ．
(3)$f$を自然数とし，$p$を$2$でない素数とする．$n=p^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$の個数を求めよ．
国立 京都教育大学 2015年 第4問次の$(1),\ (2)$を証明せよ．
(1)$A>0,\ B \geqq 0$であるとき，$A>B$と$A^2>B^2$は同値である．
(2)$|a|<1$かつ$|b|<1$ならば，
\[ 1+ab \neq 0 \;\text{かつ}\; |\displaystyle\frac{a+b|{1+ab}}<1 \]
(1)$A>0,\ B \geqq 0$であるとき，$A>B$と$A^2>B^2$は同値である．
(2)$|a|<1$かつ$|b|<1$ならば，
\[ 1+ab \neq 0 \;\text{かつ}\; |\displaystyle\frac{a+b|{1+ab}}<1 \]
公立 公立はこだて未来大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$を実数とする．また，実数$x$に対する$2$つの条件$x(x^2+ax+b)=0$と$x=0$が，互いに同値であるとする．このとき，$a$と$b$がみたす関係を求め，点$(a,\ b)$が存在する領域を座標平面に図示せよ．
(2)方程式$20 \cdot {15}^{-x}+{225}^x-21=0$を解け．
(1)$a,\ b$を実数とする．また，実数$x$に対する$2$つの条件$x(x^2+ax+b)=0$と$x=0$が，互いに同値であるとする．このとき，$a$と$b$がみたす関係を求め，点$(a,\ b)$が存在する領域を座標平面に図示せよ．
(2)方程式$20 \cdot {15}^{-x}+{225}^x-21=0$を解け．
公立 広島市立大学 2013年 第2問$p,\ q$を実数の定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2+px+q$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(a)=a$を満たす実数$a$が存在するための$p,\ q$についての必要十分条件を求めよ．
(2)$f(a)=b,\ f(b)=a$を満たす異なる実数$a,\ b$が存在することと，$p,\ q$が不等式$(p-1)^2-4(q+1)>0$を満たすことは同値であることを証明せよ．
(1)$f(a)=a$を満たす実数$a$が存在するための$p,\ q$についての必要十分条件を求めよ．
(2)$f(a)=b,\ f(b)=a$を満たす異なる実数$a,\ b$が存在することと，$p,\ q$が不等式$(p-1)^2-4(q+1)>0$を満たすことは同値であることを証明せよ．