「収束」について
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国立 東京農工大学 2016年 第2問$n$を自然数とし，$a,\ b,\ r$は実数で$b>0$，$r>0$とする．複素数$w=a+bi$は$w^2=-2 \overline{w}$を満たすとする．$\alpha_n=r^{n+1} w^{2-3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．ただし，$i$は虚数単位とし，複素数$z$に共役な複素数を$\overline{z}$で表す．次の問いに答えよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha_1)$，$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\theta$の値を求めよ．
(3)$\alpha_n$の実部を$c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し，その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha_1)$，$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\theta$の値を求めよ．
(3)$\alpha_n$の実部を$c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し，その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ．
私立 久留米大学 2016年 第5問数列$\{a_n\}$が$3(a_{n+1})^2=(a_n)^3$の関係を満たしているとする．ただし，$a_n$は正の実数で，$n$は正の整数とする．
(1)$\log a_n$を$n$と$a_1$を用いて表すと$[$15$]$となる．
(2)数列$\{a_n\}$が収束するような$a_1$の値の範囲は$[$16$]$である．
(1)$\log a_n$を$n$と$a_1$を用いて表すと$[$15$]$となる．
(2)数列$\{a_n\}$が収束するような$a_1$の値の範囲は$[$16$]$である．
私立 自治医科大学 2016年 第20問初項$1$，公比$x(1-x)$の無限等比級数が収束するための$x$のとりうる範囲は，$a<x<b$となる．$5 |a+b|$の値を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2016年 第14問以下の$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$，$(\mathrm{C})$の真偽の組合せとして正しいものをアからクの中から選べ．
\mon[$(\mathrm{A})$] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=+\infty,\ \lim_{n \to \infty} b_n=+\infty$ならば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$である．
\mon[$(\mathrm{B})$] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が収束して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha,\ \lim_{n \to \infty}b_n=\beta$ならば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}$である．
\mon[$(\mathrm{C})$] $n \to \infty$のとき，数列$\{a_nb_n\}$が収束するならば，$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$はともに収束する．
\[ \begin{array}{lll}
\text{ア．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$真} & & \text{イ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{ウ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$真} & & \text{エ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{オ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$真} & & \text{カ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{キ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$真} & & \text{ク．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$偽}
\end{array} \]
\mon[$(\mathrm{A})$] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=+\infty,\ \lim_{n \to \infty} b_n=+\infty$ならば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$である．
\mon[$(\mathrm{B})$] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が収束して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha,\ \lim_{n \to \infty}b_n=\beta$ならば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}$である．
\mon[$(\mathrm{C})$] $n \to \infty$のとき，数列$\{a_nb_n\}$が収束するならば，$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$はともに収束する．
\[ \begin{array}{lll}
\text{ア．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$真} & & \text{イ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{ウ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$真} & & \text{エ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{オ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$真} & & \text{カ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{キ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$真} & & \text{ク．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$偽}
\end{array} \]
国立 大阪大学 2015年 第1問自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{x}{n(1+x)} \log \left( 1+\frac{x}{n} \right) \quad (x \geqq 0) \]
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^n f_n(x) \, dx \leqq \int_0^1 \log (1+x) \, dx$を示せ．
(2)数列$\{I_n\}$を
\[ I_n=\int_0^n f_n(x) \, dx \]
で定める．$0 \leqq x \leqq 1$のとき$\log (1+x) \leqq \log 2$であることを用いて数列$\{I_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることは用いてよい．
\[ f_n(x)=\frac{x}{n(1+x)} \log \left( 1+\frac{x}{n} \right) \quad (x \geqq 0) \]
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^n f_n(x) \, dx \leqq \int_0^1 \log (1+x) \, dx$を示せ．
(2)数列$\{I_n\}$を
\[ I_n=\int_0^n f_n(x) \, dx \]
で定める．$0 \leqq x \leqq 1$のとき$\log (1+x) \leqq \log 2$であることを用いて数列$\{I_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることは用いてよい．
国立 金沢大学 2015年 第4問$a>1$とする．無限等比級数
\[ a+ax(1-ax)+ax^2(1-ax)^2+ax^3(1-ax)^3+\cdots \]
が収束するとき，その和を$S(x)$とする．次の問いに答えよ．
(1)この無限等比級数が収束するような実数$x$の値の範囲を求めよ．また，そのときの$S(x)$を求めよ．
(2)$x$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S(x)$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\displaystyle I(a)=\int_0^{\frac{1}{a}} S(x) \, dx$とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} I(a)$を求めよ．
\[ a+ax(1-ax)+ax^2(1-ax)^2+ax^3(1-ax)^3+\cdots \]
が収束するとき，その和を$S(x)$とする．次の問いに答えよ．
(1)この無限等比級数が収束するような実数$x$の値の範囲を求めよ．また，そのときの$S(x)$を求めよ．
(2)$x$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S(x)$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\displaystyle I(a)=\int_0^{\frac{1}{a}} S(x) \, dx$とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} I(a)$を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第4問実数$x$に対し
\[ a_n(x)=\left( \frac{-x^2+8x-19}{x^2-6x+5} \right)^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．ただし$x$は$1$でも$5$でもないとする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n(x)$が収束する$x$の範囲と，そのときの極限値を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_2^3 a_1(x) \, dx$を求めよ．
\[ a_n(x)=\left( \frac{-x^2+8x-19}{x^2-6x+5} \right)^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．ただし$x$は$1$でも$5$でもないとする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n(x)$が収束する$x$の範囲と，そのときの極限値を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_2^3 a_1(x) \, dx$を求めよ．
国立 島根大学 2015年 第3問$f(x)=xe^x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とし，$2<e<3$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることは用いてよい．
(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．
国立 島根大学 2015年 第3問$f(x)=xe^x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とし，$2<e<3$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることは用いてよい．
(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．
国立 信州大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し，その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている．これを用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ．
(1)$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し，その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている．これを用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ．