「原点」について
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私立 東京女子大学 2016年 第3問座標空間において$\mathrm{N}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$とする．原点を中心とする半径$1$の球面と直線$\mathrm{NP}$との$\mathrm{N}$以外の交点を$\mathrm{Q}(x,\ y,\ z)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{NQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{NP}}$をみたす実数$t$を$a,\ b$で表せ．
(2)$x,\ y,\ z$を，それぞれ$a,\ b$で表せ．
(3)$a,\ b$を，それぞれ$x,\ y,\ z$で表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{NQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{NP}}$をみたす実数$t$を$a,\ b$で表せ．
(2)$x,\ y,\ z$を，それぞれ$a,\ b$で表せ．
(3)$a,\ b$を，それぞれ$x,\ y,\ z$で表せ．
私立 昭和薬科大学 2016年 第2問$3$点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 4,\ -1)$を通る平面$\alpha$に対して，以下の問に答えよ．
(1)平面$\alpha$の方程式を$ax+by+cz=6$としたとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ヒ]},\ \frac{[フ]}{[ヘ]} \right) \]
である．
(3)平面$\alpha$上に点$\mathrm{A}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の円$\beta$を考える．点$\mathrm{P}$が円$\beta$上を動くとき，$\mathrm{OP}$の最小値は$\sqrt{[ホマ]}$である．
(1)平面$\alpha$の方程式を$ax+by+cz=6$としたとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ヒ]},\ \frac{[フ]}{[ヘ]} \right) \]
である．
(3)平面$\alpha$上に点$\mathrm{A}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の円$\beta$を考える．点$\mathrm{P}$が円$\beta$上を動くとき，$\mathrm{OP}$の最小値は$\sqrt{[ホマ]}$である．
私立 広島工業大学 2016年 第7問次の問いに答えよ．
(1)原点を通る放物線$y=x^2+2ax+b$の頂点が直線$y=2x-3$上にあるとき，$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(2)$p$を負の定数とする．$(1)$で求めた$2$次関数の$p \leqq x \leqq 0$における最小値$m$とそのときの$x$を求めよ．
(1)原点を通る放物線$y=x^2+2ax+b$の頂点が直線$y=2x-3$上にあるとき，$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(2)$p$を負の定数とする．$(1)$で求めた$2$次関数の$p \leqq x \leqq 0$における最小値$m$とそのときの$x$を求めよ．
私立 千葉工業大学 2016年 第2問次の各問に答えよ．
(1)実数$x,\ y$は$x \geqq \sqrt[3]{2}$，$y \geqq 32$，$x^6y=256$をみたしている．$F=(\log_{16}x)(\log_2 y)$は，$t=\log_2 x$とおくと
\[ F=\frac{[アイ]}{[ウ]}t^2+[エ]t \]
と表される．$t$の取り得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \leqq t \leqq \frac{[キ]}{[ク]}$であり，$F$の最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(2)$x$の関数$f(x)=x(x^2+ax+b)$（$a,\ b$は定数）がある．$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(5,\ f(5))$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の$x$座標は$[ス]$であり，$\mathrm{B}$が曲線$y=f(x)$上にあるとき，$a=[セソ]$である．さらに，$f(x)$が$x=[ス]$で極値をとるとき，$b=[タチ]$であり，$f(x)$の極大値は$[ツテ]$である．
(1)実数$x,\ y$は$x \geqq \sqrt[3]{2}$，$y \geqq 32$，$x^6y=256$をみたしている．$F=(\log_{16}x)(\log_2 y)$は，$t=\log_2 x$とおくと
\[ F=\frac{[アイ]}{[ウ]}t^2+[エ]t \]
と表される．$t$の取り得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \leqq t \leqq \frac{[キ]}{[ク]}$であり，$F$の最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(2)$x$の関数$f(x)=x(x^2+ax+b)$（$a,\ b$は定数）がある．$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(5,\ f(5))$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の$x$座標は$[ス]$であり，$\mathrm{B}$が曲線$y=f(x)$上にあるとき，$a=[セソ]$である．さらに，$f(x)$が$x=[ス]$で極値をとるとき，$b=[タチ]$であり，$f(x)$の極大値は$[ツテ]$である．
私立 大阪工業大学 2016年 第2問次の空所を埋めよ．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
私立 東京薬科大学 2016年 第2問次の問に答えよ．
(1)関数$y=\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$のグラフ$C_1$は，$y=\log_2 (x+1)$のグラフ$C_2$を原点について対称移動し，$x$軸方向に$[ソ]$だけ平行移動したものであり，$C_1$と$C_2$の交点の座標は
\[ \left( [タ] \pm \sqrt{[チ]},\ \log_2 \left( [ツ] \pm \sqrt{[テ]} \right) \right) \quad \text{（複号同順）} \]
である．また，関数$y=\log_2 (x+1)-\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$は$x=[ト]$のとき，最大値$[ナ]$をとる．
(2)赤球$3$個，青球$2$個，白球$1$個の計$6$個の球を横一列に並べるとき，並べ方は全部で$[ニヌ]$通りある．
(1)関数$y=\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$のグラフ$C_1$は，$y=\log_2 (x+1)$のグラフ$C_2$を原点について対称移動し，$x$軸方向に$[ソ]$だけ平行移動したものであり，$C_1$と$C_2$の交点の座標は
\[ \left( [タ] \pm \sqrt{[チ]},\ \log_2 \left( [ツ] \pm \sqrt{[テ]} \right) \right) \quad \text{（複号同順）} \]
である．また，関数$y=\log_2 (x+1)-\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$は$x=[ト]$のとき，最大値$[ナ]$をとる．
(2)赤球$3$個，青球$2$個，白球$1$個の計$6$個の球を横一列に並べるとき，並べ方は全部で$[ニヌ]$通りある．
私立 大阪工業大学 2016年 第2問次の空所を埋めよ．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
私立 金沢工業大学 2016年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,\ 0)$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,\ 2)$で定め，点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$s,\ t$は実数）で定める．
(1)$s=2$，$t=3$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=([サ],\ [シ])$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 10)$のとき，$s=[スセ]$，$t=[ソ]$である．
(3)実数$s,\ t$が$4s+5t \leqq 20$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら変化するとき，点$\mathrm{P}$の存在する範囲は原点$\mathrm{O}$，点$([タ],\ [チ])$，$([ツ],\ [テ])$を頂点とする三角形の内部および周である．ただし，$[タ]<[ツ]$とする．
(1)$s=2$，$t=3$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=([サ],\ [シ])$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 10)$のとき，$s=[スセ]$，$t=[ソ]$である．
(3)実数$s,\ t$が$4s+5t \leqq 20$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら変化するとき，点$\mathrm{P}$の存在する範囲は原点$\mathrm{O}$，点$([タ],\ [チ])$，$([ツ],\ [テ])$を頂点とする三角形の内部および周である．ただし，$[タ]<[ツ]$とする．
私立 東京電機大学 2016年 第3問$a$を正の実数とする．関数$f(x)=e^{a(x+1)}-ax$とする．次の各問に答えよ．
(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)原点から曲線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ．
(3)この曲線と$y$軸，及び$(2)$で求めた接線によって囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．
(4)$S(a)$の最小値を求めよ．
(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)原点から曲線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ．
(3)この曲線と$y$軸，及び$(2)$で求めた接線によって囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．
(4)$S(a)$の最小値を求めよ．
公立 愛知県立大学 2016年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$がある．それぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{p}$とし，$\overrightarrow{p}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$および$2s+t=2$を満たすとする．ただし，$s>0$，$t>0$とする．また$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$がなす角度を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{C}$の位置ベクトル$\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{c}=2 \overrightarrow{b}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AC}$上にあることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$を中心とする円が直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$に接しているとする．$|\overrightarrow{a|}=3$，$|\overrightarrow{b|}=1$とするとき，$s$と$t$を求めよ．
(3)$(2)$のとき，直線$\mathrm{OA}$に関して，点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\theta$で表せ．
(1)点$\mathrm{C}$の位置ベクトル$\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{c}=2 \overrightarrow{b}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AC}$上にあることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$を中心とする円が直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$に接しているとする．$|\overrightarrow{a|}=3$，$|\overrightarrow{b|}=1$とするとき，$s$と$t$を求めよ．
(3)$(2)$のとき，直線$\mathrm{OA}$に関して，点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\theta$で表せ．