タグ「原点」の検索結果

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岡山大学 国立 岡山大学 2016年 第3問
ひとつのサイコロを$3$回振り,出た目を順に$u,\ v,\ w$とする.そして座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$,$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める.このとき以下の問いに答えよ.ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする.

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ.
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ.
東北大学 国立 東北大学 2016年 第1問
平面上で原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ 2)$,$\mathrm{C}(-1,\ 1)$を考える.実数$s,\ t$に対し,点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
により定める.以下の問いに答えよ.

(1)$s,\ t$が条件
\[ -1 \leqq s \leqq 1,\quad -1 \leqq t \leqq 1,\quad -1 \leqq s+t \leqq 1 \]
を満たすとき,点$\mathrm{P}(x,\ y)$の存在する範囲$D$を図示せよ.
(2)点$\mathrm{P}$が$(1)$で求めた範囲$D$を動くとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値を求め,そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第4問
$\alpha$を絶対値が$1$の複素数とし,等式$z=\alpha^2 \overline{z}$を満たす複素数$z$の表す複素数平面上の図形を$S$とする.ただし,$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す.このとき,次の各問に答えよ.

(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと,$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ.また,このことを用いて,図形$S$は原点を通る直線であることを示せ.
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする.このとき,$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ.
山形大学 国立 山形大学 2016年 第4問
複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{W}(w)$,$\mathrm{Z}(z)$は原点$\mathrm{O}(0)$と異なり,
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする.$2$直線$\mathrm{OW}$,$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき,次の問に答えよ.

(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ.
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ.
筑波大学 国立 筑波大学 2016年 第1問
$k$を実数とする.$xy$平面の曲線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=-x^2+2kx+1-k^2$が異なる共有点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を持つとする.ただし点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標は正であるとする.また,原点を$\mathrm{O}$とする.

(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ.
(2)$k$が$(1)$の範囲を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき,$S^2$を$k$を用いて表せ.
(4)$k$が$(1)$の範囲を動くとする.$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大となるような$k$の値と,そのときの重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ.
筑波大学 国立 筑波大学 2016年 第6問
複素数平面上を動く点$z$を考える.次の問いに答えよ.

(1)等式$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体は虚軸であることを示せ.
(2)点$z$が原点を除いた虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z}$が描く図形は直線から$1$点を除いたものとなる.この図形を描け.
(3)$a$を正の実数とする.点$z$が虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z-a}$が描く図形は円から$1$点を除いたものとなる.この円の中心と半径を求めよ.
大阪大学 国立 大阪大学 2016年 第3問
座標平面において,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円と放物線$y=\sqrt{2}(x-1)^2$は,ただ$1$つの共有点$(a,\ b)$をもつとする.

(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ.
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
群馬大学 国立 群馬大学 2016年 第3問
複素数平面の点$\mathrm{A}(1)$を中心とし,原点を通る円を$C$とする.また,$\mathrm{P}(z)$,$\mathrm{Q}(w)$を円$C$上を動く点とし,$\displaystyle 0<\arg{z}<\arg{w}<\frac{\pi}{2}$とする.さらに,$\displaystyle R=\frac{z(w-2)}{w(z-2)}$とおく.

(1)$R$は$R>1$を満たす実数であることを示せ.
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$のときの$R$の最小値を求めよ.
信州大学 国立 信州大学 2016年 第4問
半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$,放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える.以下の問いに答えよ.

(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ.
(2)$t \geqq 0$とする.原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき,$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と,放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ.
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を,半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
信州大学 国立 信州大学 2016年 第4問
半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$,放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える.以下の問いに答えよ.

(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ.
(2)$t \geqq 0$とする.原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき,$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と,放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ.
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を,半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
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「原点」とは・・・

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