座標平面上の原点$\mathrm{O}$，$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$の$3$点を通る放物線$y=ax^2+bx+c$を$C_1$とし，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)放物線$C_1$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)放物線$C_1$と円$C_2$で囲まれた図形のうち，放物線$C_1$の上側の部分の面積を求めよ．

$i$を虚数単位とし，$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{5}+i \sin \frac{2\pi}{5}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$z^5$および$z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle t=z+\frac{1}{z}$とおく．$t^2+t$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．
(4)半径$1$の円に内接する正五角形の$1$辺の長さの$2$乗を求めよ．

半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．

半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ．
(2)$u,\ v$を実数とする．$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき，点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ．
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき，点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ．
(2)$u,\ v$を実数とする．$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき，点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ．
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき，点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ．

空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．

(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．

空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．

(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．

$b>0$，$a=2 \sqrt{3}b$とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$を$E$とする．楕円$E$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の媒介変数表示は$x=a \cos \theta$，$y=b \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$で与えられる．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える．このような円のうち，不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする．円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき，$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ．
(2)$2d=11b$とし，$4$つの頂点が$(d,\ d)$，$(-d,\ d)$，$(-d,\ -d)$，$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える．点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき，$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする．このとき，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，$C$の半径$r(\theta)$を求めよ．
(3)$(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．