座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある．$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s$を$u,\ v$を用いて表せ．
(3)$\ell$は$xy$平面内の直線で，原点$\mathrm{O}$を通らないものとする．直線$\ell$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．

空間内に，直線$\ell$で交わる$2$平面$\alpha,\ \beta$と交線$\ell$上の$1$点$\mathrm{O}$がある．さらに，平面$\alpha$上の直線$m$と平面$\beta$上の直線$n$を，どちらも点$\mathrm{O}$を通り$\ell$に垂直にとる．$m,\ n$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，
\[ \mathrm{OP}=\sqrt{3},\quad \mathrm{OQ}=2,\quad \mathrm{PQ}=1 \]
であるとする．線分$\mathrm{PQ}$上の動点$\mathrm{T}$について，$\mathrm{PT}=t$とおく．点$\mathrm{T}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の球$S$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$S$の平面$\alpha$による切り口の面積を$t$を用いて表せ．
(2)$S$の平面$\alpha$による切り口の面積と$S$の平面$\beta$による切り口の面積の和を$f(t)$とおく．$\mathrm{T}$が線分$\mathrm{PQ}$上を動くとき，$f(t)$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

平面上で，半径$r_1$の円$C_1$と半径$r_2$の円$C_2$が，異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているとする．線分$\mathrm{PQ}$の垂直二等分線を$\ell$として，円$C_1$と$\ell$の交点のうち円$C_2$の内部にある点を$\mathrm{R}$，円$C_2$と$\ell$の交点のうち円$C_1$の外部にある点を$\mathrm{S}$とする．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{2},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ．

(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{4}$のとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ．

(3)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\theta_1,\ \angle \mathrm{PSQ}=\theta_2$とするとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を$\theta_1$と$\theta_2$を用いて表せ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．円$C_1$に外接しながら，半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する．円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし，円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初，$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする．半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする．$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき，点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．曲線$C$の概形を図$1$に示す．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする．直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ．
(6)曲線$C$と$x$軸，$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ．

$2$つの複素数$w,\ z$が$\displaystyle w=\frac{iz}{z-2}$を満たしているとする．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)複素数平面上で，点$z$が原点を中心とする半径$2$の円周上を動くとき，点$w$はどのような図形を描くか．ただし，$z \neq 2$とする．
(2)複素数平面上で点$z$が虚軸上を動くとき，点$w$はどのような図形を描くか．
(3)複素数平面上で点$w$が実軸上を動くとき，点$z$はどのような図形を描くか．

座標平面上の放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に対し，次の問に答えよ．

(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．

座標平面上の放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に対し，次の問に答えよ．

(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．

中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$a$の定円$C_1$上を，半径$\displaystyle \frac{a}{4}$の円$C_2$が内接しながらすべることなく回転する．円$C_2$上の点$\mathrm{P}$は最初に点$\mathrm{A}(a,\ 0)$にあるとする．円$C_2$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，動点$\mathrm{P}$が移動する距離を求めなさい．

$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする．図で示すように，円$C_1$，$C_2$を以下の$(ⅰ)$～$\tokeishi$で定める．

(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する．
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である．
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$，$x$軸の正の部分，および円$C_1$と接する．
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす．

円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち，$x$軸，直線$\ell$と異なる直線を$m$とし，直線$m$と直線$\ell$，$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ．
（図は省略）

$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$を複素数平面上の異なる点とする．自然数$k$に対して，平面上の点$\mathrm{P}_k$，$\mathrm{Q}_k$を以下の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすものとして定める．

(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる．
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための，$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$，$\theta=-\theta^\prime$，$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする．$\mathrm{Q}_0$を中心とし，半径が$r$の円を$C$とする．$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部，$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという．このとき，$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ．