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久留米大学 私立 久留米大学 2016年 第4問
座標平面上で,関数$f(x)=\sqrt{6-x}$で表される曲線$C:y=f(x)$を考える.$4 \leqq t \leqq 5$を満たす実数$t$に対して,曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$と$(t,\ 0)$,$(2,\ 0)$および$(2,\ f(t))$の$4$つの点を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とする.

(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる.
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり,$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる.
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする.極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる.ただし,$n$は正の整数とする.
京都教育大学 国立 京都教育大学 2015年 第6問
区間$[0,\ 1]$を$n$等分して得た分点を
\[ 0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1 \]
とならべる.すなわち,
\[ x_k=\frac{k}{n} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n) \]
とおく.$f(x)=x^2+1 (0 \leqq x \leqq 1)$に対して,$4$点$(x_{k-1},\ 0)$,$(x_k,\ 0)$,$(x_k,\ f(x_k))$,$(x_{k-1},\ f(x_{k-1}))$を頂点とする台形$S_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$の$k=1$から$k=n$までの集まりを$R_n$とおく.

(1)図形$R_4$を図示せよ.
(2)図形$R_n$の面積を$r_n$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\frac{4}{3}$であることを証明せよ.
名古屋工業大学 国立 名古屋工業大学 2010年 第1問
四角形ABCDは次の条件を満たす.

\mon[(i)] $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=1$
\mon[(ii)] $\text{BD}=1,\ \angle \text{ABD}=90^\circ$

線分ACと線分BDとの交点をEとする.線分ABを3等分して,点Aに近い分点をMとし,点Bに近い分点をNとする.$\angle \text{CAB}=\alpha,\ \angle \text{MDN}=\beta$とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{BE}}{\text{DE}}$を求めよ.
(2)$\tan \beta$の値を求めよ.
(3)$\alpha$と$\beta$の大小を判定せよ.
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