数列$\{a_n\}$は，初項から第$n$項までの和が次の$S_n$で与えられるとする．
\[ S_n=2-\frac{n+2}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，数列$\{b_n\}$と$\{c_n\}$は
\[ b_n=\frac{a_n}{n},\quad c_n=na_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められるとする．以下の問題に答えよ．

(1)$a_1$と$a_2$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．
(4)数列$\{c_n\}$について，$c_{n+1}$を$a_n$と$b_n$と$c_n$を用いて表せ．
(5)数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$U_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$a,\ b,\ c$が$a+b+c=5$かつ$ab+bc+ca=4+abc$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の少なくとも一つは$1$であることを示せ．
(2)$x^2-4x+1=0$のとき，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$，$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}$の値を求めよ．
(3)次の関数を微分せよ．
\[ y=x^{\cos x} \quad (x>0) \]

関数$f(x)=\sqrt{2} \cos 2x-3 \sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)$\sin x=t$とおいて，$f(x)$を$t$で表せ．
(2)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における解を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$(3)$の$\alpha$について，定積分$\displaystyle \int_0^\alpha f(x) \, dx$の値を求めよ．

$n,\ p,\ q (p \leqq q)$を自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．


(1)$\displaystyle \left( 1+\frac{1}{p} \right)^n \geqq 1+\frac{n}{p}$

(2)$\displaystyle \sum_{p=1}^q \log_{10} \left( 1+\frac{n}{p} \right) \leqq n \log_{10}(1+q)$

$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{BC}$を$(1-q):q$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．また，$\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$S$とする．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$である．

(1)$S$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle p=\frac{1-q}{1+q}$のとき，$S$の最小値とそれを与える$q$の値を求めよ．

$\alpha,\ \beta$を正の無理数とする．$2$つの集合$A,\ B$を
\[ A=\{ \, [n \alpha] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \},\quad B=\{ \, [n \beta] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \} \]
で定める．集合$C$を$A$と$B$の共通部分とする．集合$D$を$A$と$B$の和集合とする．$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$のとき以下の問いに答えよ．ただし，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

(1)$C$は空集合となることを示せ．
(2)$E=\{ \, n \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 99 \, \}$のとき，$E$は$D$の部分集合となることを示せ．

$s$を実数とする．$1<t<5$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{P} \left( s,\ t,\ \frac{4}{t} \right)$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$は一直線上にないことを示せ．
(2)$\angle \mathrm{OPA}$は鋭角であることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積の最小値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積が最小となるとき，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の定める平面に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．

$2$つの関数を$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$，$\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x$とする．$xy$平面上に，曲線$C:y=f(x)$，直線$\ell:y=g(x)$がある．$C$と$\ell$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式$|f(x)|>|g(x)|$を解け．
(3)$V$の値を求めよ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$次関数$f(x)=-x^2+ax$を考える．ただし，$a$は正の定数である．以下の問題に答えよ．

(1)$y_1=-x^2+x$，$y_2=-x^2+2x$とする．$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．また，次の式を満たす$x$の値を求めよ．
\[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2)積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ．また，この値が最小となるときの$a$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする．関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$，$\mathrm{QQ}^\prime$とする．ただし，$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき，$p$の値を求めよ．

$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を

$a_1=1,\quad b_1=0,\quad a_2=0,\quad b_2=1$
$a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

で定める．関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2+x}$に対し，関数$g_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を

$g_1(x)=f(x)$
$g_{n+1}(x)=g_n(f(x)) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+2}=b_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
(2)$\displaystyle g_n(0)=\frac{a_{n+2}}{b_{n+2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
(3)数列$\{c_n\}$を$c_n=g_n(0) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n$を求めよ．