「分数」について
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(463ページ目:全4648問中4621問~4630問を表示)![大阪府立大学](./img/univ/osakahuritsu.png)
次の問いに答えよ.
(1)$a$を正の定数とするとき,関数
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2}) \]
の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)$t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより,定積分
\[ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \]
を求めよ.
(3)$0 \leqq x \leqq 1$であるすべての$x$に対して,不等式
\[ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \geqq k \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \]
が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ.ただし,$\log 3=1.10$とする.
(1)$a$を正の定数とするとき,関数
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2}) \]
の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)$t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより,定積分
\[ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \]
を求めよ.
(3)$0 \leqq x \leqq 1$であるすべての$x$に対して,不等式
\[ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \geqq k \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \]
が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ.ただし,$\log 3=1.10$とする.
![会津大学](./img/univ/aizu.png)
$(1)$の問いに答えよ.また,$(2)$から$(6)$までの空欄をうめよ.
(1)次の積分を求めよ.ただし,積分定数は省略してもよい.
(i) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=[ ]$
(ii) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=[ ]$
(2)$y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき,$\displaystyle \frac{dy}{dx}=[ ]$である.
(3)方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=[ ]$である.
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ ]$である.
(5)2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき,$\tan \theta=[ ]$である.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(6)座標平面上で次の連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
|x|+|y| \leqq 2 \\
x^2+y^2 \geqq 2
\end{array}
\right. \]
の表す領域の面積は[ ]である.
(1)次の積分を求めよ.ただし,積分定数は省略してもよい.
(i) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=[ ]$
(ii) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=[ ]$
(2)$y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき,$\displaystyle \frac{dy}{dx}=[ ]$である.
(3)方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=[ ]$である.
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ ]$である.
(5)2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき,$\tan \theta=[ ]$である.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(6)座標平面上で次の連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
|x|+|y| \leqq 2 \\
x^2+y^2 \geqq 2
\end{array}
\right. \]
の表す領域の面積は[ ]である.
![兵庫県立大学](./img/univ/hyougokenritsu.png)
$52$枚の$1$組のトランプがあるとき,次の確率を求めなさい.ただし,確率は分数で表しなさい.また,トランプにはスペード,ハート,ダイヤ,クラブ(クローバー)の$4$種類のカードがある.
(1)$1$組のトランプから$2$枚のカードをでたらめに引いたとき,$2$枚とも$\mathrm{A}$(エース)である確率
(2)$1$組のトランプから$4$枚のカードをでたらめに引いたとき,$4$枚とも異なった種類のカードである確率
(1)$1$組のトランプから$2$枚のカードをでたらめに引いたとき,$2$枚とも$\mathrm{A}$(エース)である確率
(2)$1$組のトランプから$4$枚のカードをでたらめに引いたとき,$4$枚とも異なった種類のカードである確率
![兵庫県立大学](./img/univ/hyougokenritsu.png)
数直線上の原点に点Aがある.点Aは次の規則に従って数直線上を正の向きに動いていく.\\
『Aが座標$k$の位置にあるとき数直線上の正の向きに1進む確率が$\displaystyle \frac{1}{k+1}$,正の向きに2進む確率が$\displaystyle \frac{k}{k+1}$である.』\\
点Aが座標$n$の位置に立ち寄る確率を$p_n$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$p_3$を求めよ.
(2)$p_{n+1}$を$p_n$で表せ.
(3)$p_n$を求めよ.
『Aが座標$k$の位置にあるとき数直線上の正の向きに1進む確率が$\displaystyle \frac{1}{k+1}$,正の向きに2進む確率が$\displaystyle \frac{k}{k+1}$である.』\\
点Aが座標$n$の位置に立ち寄る確率を$p_n$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$p_3$を求めよ.
(2)$p_{n+1}$を$p_n$で表せ.
(3)$p_n$を求めよ.
![兵庫県立大学](./img/univ/hyougokenritsu.png)
数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が
\begin{align}
& a_n=-1+\log \left( 1-\frac{1}{1+ne} \right) \nonumber \\
& b_n=\log (n^2-3n+3)-\log (1+ne) \nonumber
\end{align}
で定められている.ここで$\log$は自然対数,$e$はその底である.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$a_n \geqq b_n$を満たす自然数$n$をすべて求めよ.
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(b_n-\log n)$を求めよ.
\begin{align}
& a_n=-1+\log \left( 1-\frac{1}{1+ne} \right) \nonumber \\
& b_n=\log (n^2-3n+3)-\log (1+ne) \nonumber
\end{align}
で定められている.ここで$\log$は自然対数,$e$はその底である.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$a_n \geqq b_n$を満たす自然数$n$をすべて求めよ.
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(b_n-\log n)$を求めよ.
![兵庫県立大学](./img/univ/hyougokenritsu.png)
自然数$n$に対して,関数$f_n(x)$を次のように定義する.
\[ f_n(x)=(\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx)\sin \frac{x}{2} \]
次の問いに答えよ.
(1)方程式$f_2(x)=0$の実数解$x$で,$0<x<\pi$を満たすものを求めよ.
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi f_{50}(x) \, dx$を求めよ.
\[ f_n(x)=(\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx)\sin \frac{x}{2} \]
次の問いに答えよ.
(1)方程式$f_2(x)=0$の実数解$x$で,$0<x<\pi$を満たすものを求めよ.
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi f_{50}(x) \, dx$を求めよ.
![公立はこだて未来大学](./img/univ/hakodatemirai.png)
$a$を定数とするとき,関数$f(x)=2^{2x}-(4+a)2^{x+1}+16a$について,以下の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$のとき,$f(x)=0$をみたす$x$を求めよ.
(2)$a>-4$のとき,$f(x)$の最小値を$a$で表せ.
(1)$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$のとき,$f(x)=0$をみたす$x$を求めよ.
(2)$a>-4$のとき,$f(x)$の最小値を$a$で表せ.
![公立はこだて未来大学](./img/univ/hakodatemirai.png)
3次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{a}{2}x^2-\frac{a^3}{12}$について,以下の問いに答えよ.ただし,$a>0$とする.
(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ.
(2)$f$の導関数$y=f^\prime(x)$のグラフの接線で,$x$軸に平行なものを求めよ.
(3)(2)で求めた接線と$y=f(x)$のグラフが,共有点をちょうど3個もつような$a$の値の範囲を求めよ.
(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ.
(2)$f$の導関数$y=f^\prime(x)$のグラフの接線で,$x$軸に平行なものを求めよ.
(3)(2)で求めた接線と$y=f(x)$のグラフが,共有点をちょうど3個もつような$a$の値の範囲を求めよ.
![公立はこだて未来大学](./img/univ/hakodatemirai.png)
行列
$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
a & 0
\end{array} \right)$について,以下の問いに答えよ.ただし,$a>0$とする.
(1)$A$の逆行列を求めよ.
(2)$A$の表す1次変換によって,双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$上のある点が,点$(-1,\ 1)$に移されるとする.このとき,$a$の値を求めよ.
$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
a & 0
\end{array} \right)$について,以下の問いに答えよ.ただし,$a>0$とする.
(1)$A$の逆行列を求めよ.
(2)$A$の表す1次変換によって,双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$上のある点が,点$(-1,\ 1)$に移されるとする.このとき,$a$の値を求めよ.
![公立はこだて未来大学](./img/univ/hakodatemirai.png)
以下の問いに答えよ.
(1)三角関数の加法定理を用いて,次の等式を証明せよ.
\[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2)次の不等式を証明せよ.$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\
必要ならば,実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい.
(3)数列$\{a_n\}$を,次の条件によって定める.
\[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき,次の不等式を証明せよ.$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4)(3)の数列$\{a_n\}$に対して,次の不等式を証明せよ.$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1)三角関数の加法定理を用いて,次の等式を証明せよ.
\[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2)次の不等式を証明せよ.$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\
必要ならば,実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい.
(3)数列$\{a_n\}$を,次の条件によって定める.
\[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき,次の不等式を証明せよ.$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4)(3)の数列$\{a_n\}$に対して,次の不等式を証明せよ.$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$