次の問いに答えよ．

(1)$a$を正の定数とするとき，関数
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2}) \]
の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \]
を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$であるすべての$x$に対して，不等式
\[ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \geqq k \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \]
が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ．ただし，$\log 3=1.10$とする．

$(1)$の問いに答えよ．また，$(2)$から$(6)$までの空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}=[　]$である．
(3)方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=[　]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[　]$である．
(5)2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[　]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(6)座標平面上で次の連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
|x|+|y| \leqq 2 \\
x^2+y^2 \geqq 2
\end{array}
\right. \]
の表す領域の面積は[　]である．

$52$枚の$1$組のトランプがあるとき，次の確率を求めなさい．ただし，確率は分数で表しなさい．また，トランプにはスペード，ハート，ダイヤ，クラブ（クローバー）の$4$種類のカードがある．

(1)$1$組のトランプから$2$枚のカードをでたらめに引いたとき，$2$枚とも$\mathrm{A}$（エース）である確率
(2)$1$組のトランプから$4$枚のカードをでたらめに引いたとき，$4$枚とも異なった種類のカードである確率

数直線上の原点に点Aがある．点Aは次の規則に従って数直線上を正の向きに動いていく．\\
『Aが座標$k$の位置にあるとき数直線上の正の向きに1進む確率が$\displaystyle \frac{1}{k+1}$，正の向きに2進む確率が$\displaystyle \frac{k}{k+1}$である．』\\
点Aが座標$n$の位置に立ち寄る確率を$p_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_3$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$で表せ．
(3)$p_n$を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が
\begin{align}
& a_n=-1+\log \left( 1-\frac{1}{1+ne} \right) \nonumber \\
& b_n=\log (n^2-3n+3)-\log (1+ne) \nonumber
\end{align}
で定められている．ここで$\log$は自然対数，$e$はその底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n \geqq b_n$を満たす自然数$n$をすべて求めよ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(b_n-\log n)$を求めよ．

自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を次のように定義する．
\[ f_n(x)=(\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx)\sin \frac{x}{2} \]
次の問いに答えよ．

(1)方程式$f_2(x)=0$の実数解$x$で，$0<x<\pi$を満たすものを求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi f_{50}(x) \, dx$を求めよ．

$a$を定数とするとき，関数$f(x)=2^{2x}-(4+a)2^{x+1}+16a$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$のとき，$f(x)=0$をみたす$x$を求めよ．
(2)$a>-4$のとき，$f(x)$の最小値を$a$で表せ．

3次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{a}{2}x^2-\frac{a^3}{12}$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$f$の導関数$y=f^\prime(x)$のグラフの接線で，$x$軸に平行なものを求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$y=f(x)$のグラフが，共有点をちょうど3個もつような$a$の値の範囲を求めよ．

行列
$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
a & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$A$の逆行列を求めよ．
(2)$A$の表す1次変換によって，双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$上のある点が，点$(-1,\ 1)$に移されるとする．このとき，$a$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．
\[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2)次の不等式を証明せよ．$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\
必要ならば，実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい．
(3)数列$\{a_n\}$を，次の条件によって定める．
\[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4)(3)の数列$\{a_n\}$に対して，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$