次の不定積分および定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int \sin \left( \frac{\pi}{4}+x \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} -x \right) \cos x \, dx$
(2)$\displaystyle \int \frac{x \log (x^2+1)}{x^2+1} \, dx$
(3)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^x}{2+3e^x+e^{2x}} \, dx$

コインを$n$回投げて，表が出た回数$k$に応じてポイント$2^k$が与えられるゲームを考える．ただし，コインを投げたとき，表が出る確率を$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．

(1)$n=4$として，このゲームを$1$ゲーム行なったとき，$8$ポイント以上を獲得する確率を求めよ．
(2)$n=4$として，このゲームを$3$ゲーム行なったとき，少なくとも$1$ゲームは$8$ポイント以上を獲得する確率を求めよ．
(3)$n=4$として，このゲームを$3$ゲーム行なったとき，獲得するポイントの合計が$32$以上となる確率を求めよ．
(4)このゲームを$1$ゲーム行なったとき，獲得するポイントの期待値を$n$を用いて表せ．

空間の3点A，B，Cは同一直線上にはないものとし，原点をOとする．空間の点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が，$x+y+z=1$を満たす正の実数$x,\ y,\ z$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}} +z\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表されているとする．

(1)直線APと直線BCは交わり，その交点をDとすれば，DはBCを$z:y$に内分し，PはADを$(1-x):x$に内分することを示せ．
(2)$\triangle$PAB，$\triangle$PBCの面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とすれば，
\[ \frac{S_1}{z}=\frac{S_2}{x} \]
が成り立つことを示せ．

放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$について，次の問いに答えよ．

(1)点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{1}{2} \right)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り直線$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．直線$\ell_2$と$x$軸との交点Aの座標を求めよ．
(3)点Aを中心とし，直線$\ell_1$に接する円の方程式を求めよ．
(4)(3)の円と$x$軸との交点のうち原点に近い方の点Bの座標を求めよ．
(5)放物線，円弧BPおよび$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面上に点P$_0$を原点とし，点P$_1$，P$_2$，$\cdots$，P$_n$が$y$軸上の正の部分にこの順に並んでいる．$y=x^2 \ (x>0)$上に点Q$_1$，Q$_2$，$\cdots$，Q$_n$がこの順に並んでおり，$k=1$から$n$に対し，$\angle \text{Q}_k \text{P}_{k-1} \text{P}_k= \angle \text{Q}_k \text{P}_k \text{P}_{k-1} = \theta$が成り立っている．$\displaystyle \frac{1}{\tan \theta}=t$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)点P$_1$，P$_2$，P$_3$の座標を求めよ．
(2)P$_n(0,\ y_n)$，Q$_n(x_n,\ x_n^2)$とするとき，$y_n$を$x_{n+1}$で表せ．
(3)点P$_n$の座標を推測して，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

負でない実数を$a$とする．$xy$平面上で$\displaystyle 0 \leqq x \leqq a,\ 0 \leqq y \leqq \frac{1}{1+x}$を満たす領域を$A$とし，$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_1$，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$V_1$を求めよ．
(2)$V_2$を求めよ．
(3)$V_1-V_2$が最大となるときの$a$の値を$p$とおく．$p$を求め，$p<1$を示せ．
(4)$p<a<1$において$V_1=V_2$となる$a$が存在することを示せ．ただし，$\log 2<0.7$を使用してもよい．

関数列
\[ f_n(x)=x^{n-1},\quad g_n(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}f_k(x) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle F_n(x) = \int_0^x f_n(t) \, dt$を求めよ．
(2)$\{g_n(x)\}$が数列として収束するための実数$x$の条件を求めよ．また，$x$がこの条件を満たすとき$\displaystyle g(x)=\lim_{n \to \infty}g_n(x)$とおく．
\[ \int_0^x g(t) \, dt \]
を求めよ．
(3)(1)の$F_n(x)$について
\[ -F_{n+1}(1) \leqq \int_0^1 \frac{(-1)^n f_{n+1}(t)}{1+t} \, dt \leqq F_{n+1}(1) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)無限級数
\[ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots \]
の収束，発散について調べ，収束すればその和を求めよ．

関数$\displaystyle f_n(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \ $(ただし$x \geqq 0,\ n=1,\ 2,\ \cdots$)について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ．
(2)$n$が偶数のとき，$f_n(x) \leqq \log (1+x)$，$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ．
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．

$A$を成分が実数である2次の正方行列，$E$を2次の単位行列とする．数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2^n,\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．また，座標平面上の点P$_n(x_n,\ y_n)$を
\[ \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\quad \biggl( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \biggr)=A^{b_n}\biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr),\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$A$は$\sqrt{2}A^2=(1+\sqrt{3})A-\sqrt{2}E$を満たすとする．$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ．
(3)(2)，かつ，$\displaystyle x_2=\sqrt{\frac{1}{2}},\ y_2=\sqrt{\frac{3}{2}}$のとき，$x_3,\ y_3$を求めよ．ただし，$A^{-1}$が存在することを証明なしに用いてよい．
(4)(3)のとき，$x_{n+1}=x_1,\ y_{n+1}=y_1$となる最小の自然数$n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の関係式を満たす数列$\{a_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

\mon[(i)] $\displaystyle a_1=\frac{1}{4}, a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
\mon[(ii)] $a_1=1, a_{n+1}=2a_n+3^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(2)行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が
\[ A^2-97A+2010E=O \]
を満たすとき，$a+d,\ ad-bc$の値の組をすべて求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(3)$a$を正の実数とするとき，極限値
\[ b=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a+(n+2)^a+\cdots +(n+n)^a}{1^a+2^a+\cdots +n^a} \]
を求めよ．