$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$，半径$r (0<r<p)$の円$C_1$が，放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で，直線$\ell:y=q (q>p)$と$1$点で接している（直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする）．ここで$2$つの曲線が接するとは，交点における接線が一致することを意味する．このとき
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり，$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である．このとき，放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 4)$，$\mathrm{B}(4,\ 2)$および$2$つの直線$\ell:x+y=1$，$m:x-y=3$が与えられている．

(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$が最小となる$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( \frac{[$50$][$51$][$52$]}{[$53$]},\ \frac{[$54$][$55$][$56$]}{[$57$]} \right) \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がそれぞれ直線$\ell,\ m$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}$が最小となる$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標はそれぞれ
\[ \left( \frac{[$58$][$59$]}{[$60$]},\ \frac{[$61$][$62$]}{[$63$]} \right),\quad \left( \frac{[$64$][$65$]}{[$66$]},\ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$]} \right) \]
である．

実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表すものとする．

(1)数列$\displaystyle a_1=\frac{1}{[\sqrt{1}]},\ a_2=\frac{2}{[\sqrt{2}]},\ a_3=\frac{3}{[\sqrt{3}]},\ \cdots,\ a_n=\frac{n}{[\sqrt{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$99$までの数$n$のうち$a_n$が整数になるものは$[$70$][$71$]$個である．また，$a_n=10$と最初になるのは$n=[$72$][$73$]$のときである．さらに，$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$としたとき，$S_{99}=[$74$][$75$][$76$]$である．
(2)数列$\displaystyle b_1=\frac{1}{[\sqrt[3]{1}]},\ b_2=\frac{2}{[\sqrt[3]{2}]},\ b_3=\frac{3}{[\sqrt[3]{3}]},\ \cdots,\ b_n=\frac{n}{[\sqrt[3]{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$124$までの数$n$のうち$b_n$が整数になるものは$[$77$][$78$]$個である．また，$b_n=10$と最初になるのは$n=[$79$][$80$]$のときである．さらに，$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n b_i$としたとき，$T_{124}=\kakkofour{$81$}{$82$}{$83$}{$84$}$である．

$a$を$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{1}{2}$を満たす実数とする．このとき，関数$f(x)=|x^2-2ax|$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のときの，$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
また，$\displaystyle a=\frac{4}{9}$のときの，$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)$f(a)=f(1)$となる$a$の値を$A$とする．このとき，$A$を求めよ．
(3)$0 \leqq a \leqq A$とする．$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A \leqq a \leqq \frac{1}{2}$とする．$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(5)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$の関数として，$M(a)$で表す．$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{1}{2}$における$M(a)$の最小値を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_x^{x+1} (1+|t|)(1+|t-1|) \, dt \]
と定義する．

(1)$x \leqq -1$のとき，
\[ f(x)=[ネ]x^2+[ノ]x+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
である．
(2)$x$が実数全体を動くとき，関数$f(x)$は，$x=[フ]$のとき最小となり，その値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする．$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし，$A$の補集合を$\overline{A}$とする．$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし，$B$の補集合を$\overline{B}$とする．$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり，$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である．
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$f(x)=[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると，$a=[エ]$である．
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である．
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき，定数$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると，$\theta=[ク]$である．
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと，$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である．ただし，空欄に入る数は整数である．
(8)$p,\ q$を実数とし，$q>4$とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1)$，$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta=[サ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．

図のように辺の長さが$a$と$b$である長方形があり，$ab=1$とする．この長方形の四隅から，一辺の長さが$\displaystyle c \left( 0<c<\frac{1}{2} \right)$の正方形を切り取り，残った部分を組み立ててできる直方体の容器の容積を$V$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して，$a$と$b$が変化するとき，$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$V$を最大にする$a$の値と，そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す．このとき，$M(c)$を最大にする$c$の値と，そのときの$M(c)$の値を求めよ．

$\mathrm{AB}=1$である三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，$\mathrm{OB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AD}}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で定めた$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}$を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．
(5)$(4)$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$に内接する円の半径$r$を求めよ．

$a,\ b$を実数，$t$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2,\quad C_2:y=x^2+ax+b \]
が，点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$において同じ接線$\ell$を持つとする．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$の法線を$m$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)$m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．