次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x,\ y$を実数とするとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$[ア]$であり，最大値は$[イ]$である．
(2)$2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは，$x=[ウ]$，$y=[エ]$のときである．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は，$x=[オ]$において最大値$[カ]$をとる．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{C}$の座標は$[キ]$である．また，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．
(5)袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている．この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である．このとき，袋の中の白玉は$[ケ]$個である．また，取り出した玉を元に戻し，この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$[コ]$である．

正の定数$a$に対して，$f(x)=ax^3-(2a-1)x^2-(5a+1)x+6(a-1)$とする．関数$y=f(x)$のグラフは$x$軸とちょうど$2$つの共有点をもつ．これらの共有点のうち，$x$座標の値が大きい方の点の座標は$([ス],\ 0)$であり，$\displaystyle a=\frac{[セ]}{[ソ]}$である．また，$f(x)$が極小値をとるのは，$\displaystyle x=\frac{[タ]}{[チ]}$のときである．

次の問に答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1-\log x}}{x} \, dx$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=(x+1)2^{x-3}-2^x-1$に対し，$f^\prime(x)=0$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$0$でない実数$a$に対し，極限値
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos (a-1)x-\cos (a+1)x}{x \sin x} \]
を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=2 \cos \frac{\pi}{4},\quad a_n=2a_{n-1} \cos \frac{\pi}{2^{n+1}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)一般項$\displaystyle b_n=a_n \sin \frac{\pi}{2^{n+1}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n}$を求めよ．

$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{1}{2} \cos (2n+1) \theta+\sum_{j=1}^n (\sin 2j \theta) \sin \theta=\frac{1}{2} \cos \theta \]

$a$を正の実数とする．$x \geqq 0$のとき，次の不等式が成り立つとする．
\[ \frac{x^3}{3}+a \geqq x \]
また，等号が成り立つ正の実数$x$が存在するとする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)次の連立不等式を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
\[ x \leqq y,\quad y \leqq \frac{x^3}{3}+a,\quad \frac{x^3}{3}+a \leqq 1 \]

次の問に答えよ．

(1)$i$を虚数単位とする．複素数$\alpha=2 \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}+i \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} \right)$と$0$でない複素数$\beta$に対し，複素数平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(\alpha\beta)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \right)$と定める．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が$3$であるとき，$|\beta|$を求めよ．

(2)等式$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \log_2 \frac{x}{k}=-\log_2 864$を満たす実数$x$を求めよ．

(3)点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(x,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ y,\ z)$について，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$，$\mathrm{OB} \perp \mathrm{OC}$，$\mathrm{OC} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき，実数$x,\ y,\ z$の値を求めよ．さらに四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{d^n}{dx^n}(e^x \sin x)=2^{\frac{n}{2}} e^x \sin \left( x+\frac{n\pi}{4} \right) \]
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
\[ a_n=3+\left( \frac{2}{3} \right)^{n-1},\quad s_n=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n+1} \]
とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対して，$s_{n-1}<s_n$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \sin \theta=2^n \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2^2} \ \cdots \ \cos \frac{\theta}{2^n} \sin \frac{\theta}{2^n} \]
(2)$0<\theta<\pi$のとき，次の極限値を$\theta$を用いて表せ．
\[ \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2^2} \ \cdots \ \cos \frac{\theta}{2^n} \]

$m$を自然数とし，整数$x,\ y$は$x^3+y^3=m$を満たすとする．

(1)$0<x^2-xy+y^2 \leqq m$が成り立つことを示せ．

(2)$\displaystyle y^2 \leqq \frac{4}{3}m$が成り立つことを示せ．

(3)$x^3+y^3=19$を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．ただし，$(2)$の結果を利用してもよい．