次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて，正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである．ただし，回転して一致する場合は同じものとみなす．
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする．$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき，$n=[イ]$である．
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると，$A=[ウ]$である．
(4)$k$を実数とし，$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき，$k$の値をすべて求めると，$k=[エ]$である．
(5)$a,\ b$を実数とする．$x$の$2$次式$f(x)$が，$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき，$a+b=[オ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において，$\tan \theta=2$が成り立つとき，$\cos \theta=[キ]$である．
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$0<\theta<\pi$とし，$t=\cos 2\theta$とおく．$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる．$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち，$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である．したがって，$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である．
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき，カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく．並べ方は全部で$[オ]$通りである．そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである．また，$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである．
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は，$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる．また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき，$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．また，$\mathrm{C}$を通り$\mathrm{AD}$と平行な直線と辺$\mathrm{BA}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とおく．

ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$，辺の長さを$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AB}=c$，角を$\angle \mathrm{BAC}=\theta$として，次の問に答えよ．


(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}=p$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$の絶対値$f=|\overrightarrow{\mathrm{CE|}}$を$b,\ c,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BCE}$の重心を$\mathrm{G}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(4)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$が互いに直交するとき，$\cos \theta$を$b,\ c$を用いて表せ．

座標平面上の$2$直線$mx-y+1=0$，$x+my-m-2=0$の交点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$m$は実数とする．

(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．

次の計算をしなさい．対数は自然対数とする．
\[ \int_0^3 \frac{x^2}{\sqrt{1+x}} \, dx=[$7$],\qquad \int_1^{\sqrt{3}} 2x \log (1+x^2) \, dx=[$8$] \]

座標平面上で，関数$f(x)=\sqrt{6-x}$で表される曲線$C:y=f(x)$を考える．$4 \leqq t \leqq 5$を満たす実数$t$に対して，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$と$(t,\ 0)$，$(2,\ 0)$および$(2,\ f(t))$の$4$つの点を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とする．

(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる．
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり，$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる．
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる．ただし，$n$は正の整数とする．

曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．この曲線上の点$\mathrm{P}$における法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とおき，点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．

$0$でない実数$x,\ y,\ z,\ w$と正の整数$a,\ b,\ c,\ d$が，
\[ a^x=b^y=c^z=d^w,\quad \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=\frac{1}{w} \]
を満たすものとする．ただし，$a>b>c>1$，$d>1$とする．

(1)$a,\ b,\ c$を用いて$d$を表せ．
(2)$d \leqq 1000$かつ$\sqrt{d}$が整数であるような$d$を$1$つ求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$1$桁の数として，$3$桁の数を$abc$と表記するとき，$7$進法で表すと$3$桁の数$abc_{(7)}$になり，$5$進法で表すと$3$桁の数$bca_{(5)}$になる数を$10$進法で表すと$[$18$][$19$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{123}{343}$を$7$進法の小数で表すと$[$20$]. [$21$][$22$][$23$]_{(7)}$である．

$i$を虚数単位，$k$を実数とするとき，$3$次方程式$\displaystyle 2x^3-(6k+3i)x^2-\frac{4}{3}x-9+2i=0$が$2$つの異なる実数解をもつための必要十分条件は$\displaystyle k=-\frac{[$24$]}{[$25$]}$であり，その$2$つの実数解は$\displaystyle x=\pm \frac{\sqrt{[$26$]}}{[$27$]}$である．