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国立 長崎大学 2016年 第1問半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
国立 長崎大学 2016年 第1問半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
国立 奈良女子大学 2016年 第3問$6$つの整数$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$はすべて$0$以上で，次の$3$条件（ア），（イ），（ウ）をみたすとする．
（ア）\ $a>b>c>d$
（イ）\ $a=be+c$
（ウ）\ $b=cf+d$
次の問いに答えよ．
(1)$a=8$のとき，$5$つの整数$b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle c<\frac{a}{2}$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle d<\frac{a}{3}$が成り立つことを示せ．
（ア）\ $a>b>c>d$
（イ）\ $a=be+c$
（ウ）\ $b=cf+d$
次の問いに答えよ．
(1)$a=8$のとき，$5$つの整数$b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle c<\frac{a}{2}$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle d<\frac{a}{3}$が成り立つことを示せ．
国立 長崎大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$のように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
国立 長崎大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．
国立 長崎大学 2016年 第3問関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える．$p$を正の数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．
国立 長崎大学 2016年 第4問楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{a^2}=1 (a>0)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(0,\ -a)$とする．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ a \sin \theta)$はこの楕円上を動く．以下の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする．$\displaystyle X=\sin \theta \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする．$f(X)$を$X$の式で表せ．
(2)$0<a<1$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し，そのときの$X$の値を求めよ．
(3)$a=2$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする．$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする．$\displaystyle X=\sin \theta \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする．$f(X)$を$X$の式で表せ．
(2)$0<a<1$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し，そのときの$X$の値を求めよ．
(3)$a=2$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする．$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 島根大学 2016年 第3問複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$，$\mathrm{Q}(2)$と，これら$3$点を通る円$C$がある．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
国立 島根大学 2016年 第3問複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$，$\mathrm{Q}(2)$と，これら$3$点を通る円$C$がある．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
国立 福岡教育大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和をそれぞれ
\[ s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n,\quad t_n=b_1+b_2+\cdots +b_n \]
とおいたとき
\[ s_n=\frac{3n^2+n}{2},\quad \log_2 (t_n+1)=2n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_kb_k$を求めよ．
\[ s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n,\quad t_n=b_1+b_2+\cdots +b_n \]
とおいたとき
\[ s_n=\frac{3n^2+n}{2},\quad \log_2 (t_n+1)=2n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_kb_k$を求めよ．